이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0 기준)의 그래프가 x축과 서로 다른 두 점 x=α, x=β (α < β)에서 만날 때 (즉, 이차방정식 ax²+bx+c=0의 판별식 D > 0이고 두 실근이 α, β일 때), 이차부등식의 해는 다음과 같아요.

• ax² + bx + c > 0의 해: x < α 또는 x > β (양쪽 가장자리 범위)
• ax² + bx + c ≥ 0의 해: x ≤ α 또는 x ≥ β
• ax² + bx + c < 0의 해: α < x < β (두 근 사이 범위)
• ax² + bx + c ≤ 0의 해: α ≤ x ≤ β

만약 a < 0 (위로 볼록)이라면, 양변에 -1을 곱하여 x²의 계수를 양수로 만든 후 부등호 방향을 바꾸어 풀면 위와 같은 원리를 적용할 수 있어요!

개념정리 92-1: 서로 다른 두 교점 발생!

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 판별식 D = b² – 4ac가 0보다 클 때 (D > 0), 이 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 갖는다고 배웠죠?

이것을 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프 관점에서 보면, 그래프가 x축과 서로 다른 두 점에서 만난다는 것을 의미해요. 이 두 교점의 x좌표가 바로 이차방정식의 두 실근 α, β가 되는 것이고요. (α < β라고 가정합시다.)

이처럼 그래프가 x축과 두 점에서 만나게 되면, x축을 기준으로 그래프가 위쪽에 있는 부분과 아래쪽에 있는 부분이 명확하게 나뉘게 됩니다. 이것이 바로 이차부등식의 해를 결정하는 기준이 된답니다.

개념정리 92-2: 두 근 α, β를 기준으로 범위 나누기

이차함수 y = ax² + bx + c (a > 0으로 가정, 즉 아래로 볼록)의 그래프가 x축과 두 점 x=α, x=β (α < β)에서 만날 때, 부등식의 해는 다음과 같이 결정돼요.

이차식 ax²+bx+c는 a(x-\alpha)(x-\beta)로 인수분해되므로, 이 식의 부호는 (x-\alpha)(x-\beta)의 부호와 같아요 (a>0이므로).

1. ax² + bx + c > 0 (또는 a(x-\alpha)(x-\beta) > 0)의 해

그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분의 x 범위입니다.
아래로 볼록한 포물선이 x축보다 위쪽에 있으려면, x는 두 근의 바깥쪽 범위에 있어야 해요.
즉, x < α 또는 x > β 입니다.

2. ax² + bx + c < 0 (또는 a(x-\alpha)(x-\beta) < 0)의 해

그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x 범위입니다.
아래로 볼록한 포물선이 x축보다 아래쪽에 있으려면, x는 두 근의 안쪽(사이) 범위에 있어야 해요.
즉, α < x < β 입니다.

(부등호에 등호가 포함되면, 해의 범위에도 등호가 포함됩니다. 예: ax²+bx+c \ge 0 \implies x \le \alpha \text{ 또는 } x \ge \beta)