이차부등식의 해와 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프 사이에는 다음과 같은 관계가 있어요.

• 이차부등식 ax² + bx + c > 0의 해:
  ↔ 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프에서 y > 0인 부분, 즉 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위.
• 이차부등식 ax² + bx + c < 0의 해:
  ↔ 이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프에서 y < 0인 부분, 즉 그래프가 x축보다 아래쪽에 있는 부분의 x의 값의 범위.

(부등호에 등호(\ge, \le)가 포함되면, 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표도 해에 포함시켜요. )

이차함수의 그래프만 잘 그릴 수 있다면, 이차부등식의 해를 구하는 것은 식은 죽 먹기랍니다! (보통은 a>0으로 만들어 생각하는 것이 편해요.)

개념정리 91-1: 그래프에서 y > 0, y < 0인 부분 찾기

이차부등식의 해를 이차함수의 그래프와 연결 짓는 핵심 아이디어는 바로 y값의 부호예요.

이차함수 y = ax² + bx + c에서,

• 부등식 ax² + bx + c > 0을 만족시키는 x의 범위를 찾는다는 것은, 그래프에서 함숫값 y가 0보다 큰 부분을 찾는 것과 같아요. 그래프 상에서는 이것이 바로 포물선이 x축보다 위쪽에 그려지는 x의 구간을 의미합니다.
• 반대로, 부등식 ax² + bx + c < 0을 만족시키는 x의 범위를 찾는다는 것은, 그래프에서 함숫값 y가 0보다 작은 부분을 찾는 것과 같아요. 그래프 상에서는 포물선이 x축보다 아래쪽에 그려지는 x의 구간을 의미합니다.

만약 부등호에 등호가 포함되어 있다면 (\ge 또는 \le), 그래프가 x축과 만나는 지점 (y=0인 지점, 즉 이차방정식의 실근)도 해에 포함시켜 주면 됩니다.

개념정리 91-2: x축과의 교점이 기준!

이차함수 y = ax² + bx + c의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 α, β (α < β)라고 할 때 (즉, 이차방정식 ax²+bx+c=0의 두 실근이 α, β일 때), 부등식의 해는 그래프의 모양(a의 부호)에 따라 다음과 같이 결정돼요.

1. 아래로 볼록일 때 (a > 0)

• ax² + bx + c > 0의 해: x < α 또는 x > β (x축보다 위쪽)
• ax² + bx + c < 0의 해: α < x < β (x축보다 아래쪽)

2. 위로 볼록일 때 (a < 0) (양변에 -1을 곱하여 a>0으로 만들고 푸는 것이 일반적이지만, 그래프를 그대로 해석한다면)

• ax² + bx + c > 0의 해: α < x < β (x축보다 위쪽)
• ax² + bx + c < 0의 해: x < α 또는 x > β (x축보다 아래쪽)

이처럼 그래프의 개형과 x축과의 교점만 알면 부등식의 해를 쉽게 찾을 수 있습니다!