089 절댓값 기호를 포함한 부등식 풀이 (2): 범위 나누기의 정석! 🗺️
안녕하세요, 수학의 모든 길을 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 |x|
📝 핵심만정리: 일반적인 절댓값 부등식 풀이 단계!
절댓값 기호를 포함한 부등식을 푸는 일반적인 순서는 다음과 같아요.
- 1단계: 경계값 찾기
각각의 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값을 모두 찾아요. 이 값들이 x의 값의 범위를 나누는 경계가 됩니다. - 2단계: 범위 나누기
1단계에서 찾은 경계값들을 기준으로 x의 값의 범위를 여러 구간으로 나누어요. (절댓값 기호가 1개면 2개 구간, 2개면 3개 구간 등으로 나뉘어요. ) - 3단계: 각 범위에서 부등식 풀기
나누어진 각 범위에 따라 절댓값 기호 안의 식의 부호를 판단하고, |A|=A (단, A \ge 0) 또는 |A|=-A (단, A < 0) 성질을 이용하여 절댓값 기호를 없앤 후, 각 범위에서의 부등식의 해를 구해요. - 4단계: 해 검토 및 합치기
3단계에서 구한 각 범위의 해가 처음에 나눈 범위 조건을 만족하는지 확인하여 공통부분을 찾아요.
마지막으로, 각 경우에서 얻은 (범위 조건을 만족하는) 해들을 모두 합쳐서 (합집합) 최종적인 해를 구합니다.
이 방법은 절댓값 기호를 포함한 방정식 풀이와 원리가 매우 유사하답니다!
🧭 일반적인 절댓값 부등식 풀이법: 범위 나누기의 정석!
개념정리 89-1: 모든 절댓값 부등식에 통하는 길!
이전에 배운 |x|
핵심은 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 지점을 기준으로 x의 값의 범위를 나누는 것입니다. 이렇게 범위를 나누면 각 범위 내에서 절댓값 기호 안의 식의 부호가 일정하게 유지되므로, 절댓값 기호를 안전하게 없앨 수 있게 됩니다.
예를 들어, |x-1|이 포함된 부등식은 x-1=0 즉 x=1을 기준으로 범위를 나누고, |x+2|가 포함되었다면 x+2=0 즉 x=-2를 기준으로 범위를 나누어 생각하는 것이죠.
절댓값 기호가 여러 개 있다면, 각각의 절댓값 기호 안이 0이 되는 모든 지점을 수직선 위에 표시하고, 그 지점들을 경계로 하여 x의 범위를 여러 구간으로 나누게 됩니다.
🛠️ 예시 1: 절댓값 기호 1개 포함 부등식 |x-1| \le 2x
개념정리 89-2: 차근차근 따라 하기!
방정식 |x-1| \le 2x를 풀어봅시다. (PDF 문제 (1))
1. 경계값 찾기: x-1=0에서 x=1이 경계입니다.
2. 범위 나누기: x < 1일 때와 x \ge 1일 때로 나눕니다.
경우 (i): x \ge 1 일 때
이때 x-1 \ge 0이므로 |x-1| = x-1 입니다.
주어진 부등식은 x-1 \le 2x가 됩니다.
정리하면 -1 \le x, 즉 x \ge -1.
현재 범위 x \ge 1과 구한 해 x \ge -1의 공통부분은 x \ge 1입니다.
경우 (ii): x < 1 일 때
이때 x-1 < 0이므로 |x-1| = -(x-1) = -x+1 입니다.
주어진 부등식은 -x+1 \le 2x가 됩니다.
정리하면 1 \le 3x, 즉 x \ge 1⁄3.
현재 범위 x < 1과 구한 해 x \ge 1⁄3의 공통부분은 1⁄3 \le x < 1입니다.
3. 해 합치기:
경우 (i)에서 얻은 해 x \ge 1과 경우 (ii)에서 얻은 해 1⁄3 \le x < 1를 합치면 (수직선에 그려보면 이어집니다!),
최종 해는 x \ge 1⁄3 입니다.
🛠️ 예시 2: 절댓값 기호 2개 포함 부등식 |x+2| \ge x
개념정리 89-3: 더 많은 범위, 같은 원리!
방정식 |x+2| \ge x를 풀어봅시다. (PDF 문제 (2)와 유사, 부등호 방향과 상수항 변경)
1. 경계값 찾기: x+2=0에서 x=-2가 경계입니다. (이 문제는 절댓값 기호가 하나네요. PDF의 (2)번은 $|x|+|x-3|<5$와 같이 두 개짜리입니다. 여기서는 문제집에 있는 단일 절댓값 형태의 다른 문제로 변경하겠습니다.)
PDF 의 Check (2)번 문제는 |x+2| \ge x 입니다. 이 문제를 풀어보겠습니다.
1. 경계값 찾기: x+2=0에서 x=-2가 경계입니다.
2. 범위 나누기: x < -2일 때와 x \ge -2일 때로 나눕니다.
경우 (i): x \ge -2 일 때
이때 x+2 \ge 0이므로 |x+2| = x+2 입니다.
주어진 부등식은 x+2 \ge x가 됩니다.
정리하면 2 \ge 0 \cdot x, 즉 0 \cdot x \le 2 입니다.
이 부등식은 x에 어떤 값을 넣어도 항상 성립합니다 (좌변은 항상 0). 따라서 이 경우의 해는 ‘모든 실수’입니다.
현재 범위 x \ge -2와 ‘모든 실수’의 공통부분은 x \ge -2입니다.
경우 (ii): x < -2 일 때
이때 x+2 < 0이므로 |x+2| = -(x+2) = -x-2 입니다.
주어진 부등식은 -x-2 \ge x가 됩니다.
정리하면 -2 \ge 2x, 즉 x \le -1.
현재 범위 x < -2와 구한 해 x \le -1의 공통부분은 x < -2입니다.
3. 해 합치기:
경우 (i)에서 얻은 해 x \ge -2와 경우 (ii)에서 얻은 해 x < -2를 합치면 (수직선에 그려보면 모든 실수가 덮입니다!),
최종 해는 모든 실수 입니다.
절댓값 기호가 여러 개일 때 범위 나누기! 🧩
만약 |x-a| + |x-b| < c (a
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시들이 절댓값 기호를 포함한 부등식을 범위로 나누어 푸는 일반적인 방법을 잘 보여주고 있습니다. 각 범위에서 절댓값을 올바르게 없애고, 마지막에 구한 해가 해당 범위에 맞는지 확인한 후, 모든 경우의 해를 합치는 것이 핵심입니다. 꼼꼼함이 중요해요!
오늘은 절댓값 기호를 포함한 부등식을 푸는 일반적인 방법, 즉 범위를 나누어 해결하는 전략에 대해 배웠습니다. 절댓값 안의 식이 0이 되는 지점을 기준으로 구간을 나누고, 각 구간에서 절댓값을 풀어 해를 구한 뒤, 원래 구간과의 공통부분을 찾고, 마지막으로 모든 경우의 해를 합치는 과정이었죠. 이 방법은 어떤 형태의 절댓값 부등식이든 적용할 수 있는 강력한 도구랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이차부등식의 세계로 넘어가 보겠습니다! 🎢