088 절댓값 기호를 포함한 간단한 부등식 풀이: 거리 개념으로 해결! 📏
안녕하세요, 수학의 거리를 재는 탐험가 친구들! 👋 절댓값 기호 | |가 포함된 방정식을 풀 때 범위를 나누어 해결했던 것 기억나죠? 오늘은 그 절댓값 기호가 포함된 부등식, 그중에서도 비교적 간단한 형태의 부등식을 푸는 방법에 대해 알아볼 거예요. 절댓값의 가장 기본적인 의미인 ‘원점으로부터의 거리‘ 개념을 이용하면 수직선 위에서 해의 범위를 직관적으로 찾을 수 있답니다! 마치 자로 거리를 재듯이 말이죠! 함께 그 방법을 익혀볼까요? 📐
📝 핵심만정리: 간단한 절댓값 부등식, 이렇게 풀어요!
a > 0, b > 0일 때, 절댓값 기호를 포함한 간단한 부등식은 다음과 같은 성질을 이용하여 풀 수 있어요.
- 1. |x| < a 꼴:
→ 원점으로부터의 거리가 a보다 작다!
→ -a < x < a - 2. |x| > a 꼴:
→ 원점으로부터의 거리가 a보다 크다!
→ x < -a 또는 x > a - 3. a < |x| < b 꼴 (단, a < b):
→ 원점으로부터의 거리가 a보다는 크고 b보다는 작다!
→ a < x < b 또는 -b < x < -a
절댓값 안의 식이 f(x)로 복잡하더라도 |f(x)| < a 이면 -a < f(x) < a 와 같이 동일한 원리를 적용할 수 있어요.
📍 절댓값 = 원점으로부터의 거리! (다시 한번 기억하기)
개념정리 88-1: 수직선 위의 거리로 이해하기
절댓값 |x|는 수직선 위에서 원점(0)으로부터 x까지의 거리를 의미한다고 했었죠? 이 ‘거리’ 개념을 이용하면 절댓값 부등식의 해를 수직선 위에서 직관적으로 이해할 수 있어요.
- |x| < 2의 의미는?
→ “원점으로부터의 거리가 2보다 작은 x들의 모임”여기에 원점 기준 -2와 2 사이를 나타내는 수직선 이미지
→ 즉, -2 < x < 2 - |x| > 2의 의미는?
→ “원점으로부터의 거리가 2보다 큰 x들의 모임”여기에 원점 기준 -2보다 작거나 2보다 큰 영역을 나타내는 수직선 이미지
→ 즉, x < -2 또는 x > 2 - 2 < |x| < 3의 의미는?
→ “원점으로부터의 거리가 2보다는 크고 3보다는 작은 x들의 모임”여기에 원점 기준 (-3, -2) 구간과 (2, 3) 구간을 나타내는 수직선 이미지
→ 즉, 2 < x < 3 또는 -3 < x < -2
이처럼 절댓값을 거리로 생각하면 부등식의 해의 범위를 쉽게 떠올릴 수 있답니다!
🛠️ 간단한 절댓값 부등식 풀이: 공식처럼 활용!
개념정리 88-2: 세 가지 기본 형태 마스터하기
양수 a, b에 대하여 다음과 같은 세 가지 기본 형태의 절댓값 부등식은 공식처럼 기억해두고 바로 풀 수 있도록 연습하는 것이 좋아요.
1. |x| < a (또는 |f(x)| < a)
원점으로부터의 거리가 a보다 작다는 의미이므로, x는 -a와 a 사이에 있어야 해요.
|x| < a \iff -a < x < a
(만약 |x| \le a라면 -a \le x \le a가 됩니다.)
예) |5 – 2x| \le 7을 풀어봅시다. (PDF 문제 (1))
-7 \le 5 – 2x \le 7
각 변에서 5를 빼면: -7 – 5 \le -2x \le 7 – 5 ⇒ -12 \le -2x \le 2
각 변을 -2로 나누면 (부등호 방향 반대!): -12⁄-2 \ge x \ge 2⁄-2 ⇒ 6 \ge x \ge -1
따라서 -1 ≤ x ≤ 6 입니다.
2. |x| > a (또는 |f(x)| > a)
원점으로부터의 거리가 a보다 크다는 의미이므로, x는 a보다 크거나 -a보다 작아야 해요.
|x| > a \iff x < -a \text{ 또는 } x > a
(만약 |x| \ge a라면 x \le -a 또는 x \ge a가 됩니다.)
예) |x + 1| > 3을 풀어봅시다. (PDF 문제 (2))
x + 1 < -3 또는 x + 1 > 3
첫 번째 경우: x < -3 - 1 ⇒ x < -4
두 번째 경우: x > 3 – 1 ⇒ x > 2
따라서 해는 x < -4 또는 x > 2 입니다.
3. a < |x| < b (또는 a < |f(x)| < b, 단 0 < a < b)
원점으로부터의 거리가 a보다는 크고 b보다는 작다는 의미예요.
a < |x| < b \iff (a < x < b) \text{ 또는 } (-b < x < -a)
예) 1 < |x - 2| < 4를 풀어봅시다.
경우 (i): 1 < x - 2 < 4
각 변에 2를 더하면: 1+2 < x < 4+2 ⇒ 3 < x < 6
경우 (ii): -4 < x - 2 < -1
각 변에 2를 더하면: -4+2 < x < -1+2 ⇒ -2 < x < 1
따라서 해는 -2 < x < 1 또는 3 < x < 6 입니다.
🧐 개념확인 (위 예제들로 확인)
위에서 다룬 예제들이 간단한 형태의 절댓값 부등식을 푸는 방법을 잘 보여주고 있어요. |f(x)| 형태가 나오면 f(x)를 하나의 덩어리로 보고 공식을 적용한 후, x의 범위를 구하면 된답니다! 만약 이 세 가지 기본 형태로 바로 풀리지 않는다면, 다음 시간에 배울 일반적인 풀이법(범위 나누기)을 사용해야 해요.
오늘은 절댓값 기호를 포함한 부등식 중에서 비교적 간단한 형태인 |x|