087 A < B < C 꼴의 부등식 풀이: 연립부등식으로 변신! 🔗
안녕하세요, 부등식의 연결고리를 찾는 탐험가 친구들! 👋 연립부등식을 푸는 방법을 배웠으니, 이제 그 지식을 활용할 수 있는 특별한 형태의 부등식을 만나볼 시간이에요. 바로 A < B < C (또는 부등호가 \le, \ge 등을 포함하는) 꼴로 표현된 부등식이랍니다! 이런 형태의 부등식은 마치 세 개의 식이 연결된 것처럼 보이지만, 사실은 두 개의 부등식이 숨어있는 연립부등식으로 변신시켜 풀 수 있어요. 어떻게 변신시키는지, 그리고 주의해야 할 점은 무엇인지 함께 알아볼까요? 🧩
📝 핵심만정리: A < B < C 꼴 부등식, 이렇게 풀어요!
A < B < C 꼴의 부등식 (여기서 A, B, C는 x에 대한 식 또는 상수)은 반드시 다음과 같은 연립부등식으로 고쳐서 풀어야 해요.
A < B < C ⇔ { A < BB < C
즉, “앞의 두 식의 관계”와 “뒤의 두 식의 관계”를 동시에 만족하는 범위를 찾는 것입니다.
주의! 절대로 { A < BA < C 또는 { A < CB < C 와 같이 가운데 항 B를 건너뛰고 연결하면 안 돼요! 그렇게 하면 B와 C(또는 A와 B) 사이의 대소 관계를 알 수 없게 되어 잘못된 해를 구할 수 있습니다.
부등호가 \le, \ge 등을 포함하는 경우에도 같은 원리로 변형합니다.
🤔 A < B < C 꼴의 부등식이란?
개념정리 87-1: 세 식이 연결된 형태
A < B < C 꼴의 부등식은 말 그대로 세 개의 식 또는 수가 부등호로 연결되어 있는 형태를 의미해요. 예를 들어,
- x+1 \le 2x+5 < 3x (PDF Check 문제)
- -2 < 3x+1 \le 7 (PDF Approach 예시)
이런 부등식은 “A는 B보다 작고, 동시에 B는 C보다 작다”는 두 가지 조건을 모두 만족해야 한다는 의미를 담고 있어요. 따라서 이 두 조건을 각각의 부등식으로 만들어서 연립부등식으로 해결하는 것이랍니다.
🛠️ 풀이 방법: 반드시 { A < BB < C 꼴로!
개념정리 87-2: 올바른 연립부등식으로 변형하기
A < B < C 꼴의 부등식을 풀 때는 반드시 다음의 형태로 연립부등식을 만들어야 합니다.
{ A < B ···(앞 두 개)B < C ···(뒤 두 개)
이렇게 두 개의 부등식으로 나눈 후, 각각의 부등식을 풀고 그 해의 공통부분을 구하면 됩니다.
잘못된 변형의 함정! 🚫
만약 A < B < C를 { A < BA < C 와 같이 변형하면 안 돼요! 왜냐하면 A
마찬가지로 { A < CB < C 와 같이 변형해도 A와 B의 대소 관계를 알 수 없으므로 올바른 풀이가 아니에요.
항상 가운데 항 B를 기준으로 연결된 두 부등식으로 나누어야 합니다!
예시: 부등식 x+1 \le 2x+5 < 3x를 풀어봅시다. (PDF Check 문제 변형)
이 부등식은 다음 연립부등식과 같아요:
{ x+1 \le 2x+5 ···①2x+5 < 3x ···②
1. 부등식 ① 풀기:
x+1 \le 2x+5
1-5 \le 2x-x
-4 \le x, 즉 x \ge -4
2. 부등식 ② 풀기:
2x+5 < 3x
5 < 3x-2x
5 < x, 즉 x > 5
3. 공통범위 구하기:
x \ge -4 와 x > 5의 공통범위를 수직선에 나타내면,
두 범위가 겹치는 부분은 x > 5 입니다.
따라서 연립부등식의 해는 x > 5 입니다.
특별한 경우: 가운데가 상수일 때
만약 A와 C가 상수이고 가운데 B가 x에 대한 식인 경우, 예를 들어 -2 < 3x+1 \le 7과 같은 형태는 부등식의 성질을 이용하여 한 번에 풀 수도 있어요.
1) 각 변에서 1을 빼면: -3 < 3x \le 6
2) 각 변을 3으로 나누면: -1 < x \le 2
하지만 이 방법은 A, C가 상수일 때만 가능하며, 일반적인 경우는 반드시 연립부등식으로 풀어야 합니다.
🧐 개념확인 (위 예제로 대체)
위에서 다룬 예시 x+1 \le 2x+5 < 3x의 풀이가 A
오늘은 A < B < C 꼴로 표현된 부등식을 { A < BB < C 형태의 연립부등식으로 바꾸어 푸는 방법에 대해 배웠습니다. 절대로 { A < BA < C 와 같이 건너뛰어 연결하면 안 된다는 주의사항도 중요했죠? 이 원리를 잘 이해하고 적용하면 복잡해 보이는 부등식도 체계적으로 해결할 수 있을 거예요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 절댓값 기호를 포함한 간단한 부등식 풀이에 대해 알아보겠습니다! 😊