085 일차부등식 풀이: ax > b 꼴, a의 부호에 따라 해가 달라져요! 🚦
안녕하세요, 부등식의 세계를 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 부등식의 기본적인 성질들에 대해 알아보았어요. 오늘은 그 성질들을 바탕으로 가장 기본적인 부등식 형태인 일차부등식을 푸는 방법에 대해 자세히 배울 거예요. 일차방정식을 풀 때 ax=b 꼴로 정리했던 것처럼, 일차부등식도 ax > b (또는 <, \le, \ge) 꼴로 정리해서 풀게 된답니다. 하지만 방정식과는 다르게, x의 계수 a의 부호에 따라 부등호의 방향이 바뀌거나, 해가 아주 특별한 형태로 나올 수 있다는 점을 주의해야 해요! 함께 그 경우들을 살펴볼까요? 🤔
📝 핵심만정리: 일차부등식 ax > b 풀이법!
x에 대한 부등식 ax > b의 해는 x의 계수 a의 값에 따라 다음과 같이 결정돼요.
- 1. a > 0 (양수) 일 때:
→ 양변을 a로 나누어도 부등호 방향은 그대로! x > b⁄a - 2. a < 0 (음수) 일 때:
→ 양변을 a로 나누면 부등호 방향이 반대로! x < b⁄a - 3. a = 0 일 때 (0 \cdot x > b 꼴):
- 만약 b \ge 0 (b가 0 또는 양수) 이면: 0 \cdot x > (\text{0 또는 양수}) 꼴. 이 부등식을 만족하는 x는 없어요 (해가 없다).
- 만약 b < 0 (b가 음수) 이면: 0 \cdot x > (\text{음수}) 꼴. x에 어떤 값을 넣어도 좌변은 0이므로 항상 음수보다 커요. 따라서 해는 모든 실수입니다.
(부등호가 <, \le, \ge인 경우도 같은 원리로 풀 수 있어요!)
🤔 일차부등식이란 무엇일까요? (ax < b 꼴, a \ne 0)
개념정리 85-1: 미지수의 차수가 1인 부등식
부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때, 좌변이 x에 대한 일차식이고 우변이 0인 형태, 즉,
ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b \le 0, ax + b \ge 0
과 같은 꼴로 나타나는 부등식을 x에 대한 일차부등식이라고 해요. 여기서 가장 중요한 조건은 a \ne 0 (일차항의 계수가 0이 아니다) 입니다.
이러한 일차부등식은 보통 상수항을 우변으로 이항하여 ax < -b 와 같은 형태로 만든 후, a의 부호에 따라 양변을 a로 나누어 해를 구하게 됩니다.
🚦 ax > b 풀이법: a의 부호에 따라 세 가지 길!
개념정리 85-2: 경우를 나누어 생각하기!
x에 대한 부등식 ax > b의 해는 x의 계수인 a의 값에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나누어 생각해야 해요.
1. a > 0 (양수) 일 때
양변을 양수인 a로 나누어도 부등호의 방향은 그대로 유지됩니다.
x > b⁄a
예: 2x > 6 ⇒ x > 6⁄2 ⇒ x > 3
2. a < 0 (음수) 일 때
양변을 음수인 a로 나누면 부등호의 방향이 반대로 바뀝니다!
x < b⁄a
예: -2x > 6 ⇒ x < 6⁄-2 ⇒ x < -3 (부등호 방향 바뀜!)
3. a = 0 일 때
부등식은 0 \cdot x > b 꼴이 됩니다. 이때는 b의 값에 따라 해가 달라져요.
- 만약 b \ge 0 (즉, b가 0 또는 양수) 이라면:
0 \cdot x > (\text{0 또는 양수}) 꼴이 됩니다. 좌변은 항상 0인데, 0이 0보다 크거나 양수보다 클 수는 없죠? 따라서 이 부등식을 만족하는 x는 없습니다 (해가 없다). - 만약 b < 0 (즉, b가 음수) 이라면:
0 \cdot x > (\text{음수}) 꼴이 됩니다. 좌변은 항상 0이고, 0은 어떤 음수보다도 항상 크죠? 따라서 이 부등식은 x의 값에 관계없이 항상 성립합니다. 즉, 해는 모든 실수입니다.
예: 0 \cdot x > 5 ⇒ 좌변은 0, 우변은 5. 0 > 5는 거짓이므로 해가 없다.
예: 0 \cdot x > 0 ⇒ 좌변은 0, 우변은 0. 0 > 0는 거짓이므로 해가 없다.
예: 0 \cdot x > -2 ⇒ 좌변은 0, 우변은 -2. 0 > -2는 참이므로 해는 모든 실수.
a=0일 때, 구체적으로 생각하기! 💡
a=0일 때는 무작정 공식을 외우기보다, 0 \cdot x > b 꼴로 직접 써보고, 그 식이 말이 되는지(x에 뭘 넣어도 성립하는지, 뭘 넣어도 성립 안 하는지) 따져보는 것이 좋아요. 예를 들어 0 \cdot x > 0, 0 \cdot x > (\text{양수}), 0 \cdot x > (\text{음수}) 세 가지 경우로 나누어 생각하면 쉽답니다.
🧐 개념확인 문제: 일차부등식 풀기!
이제 배운 내용을 바탕으로 다양한 형태의 일차부등식을 풀어봅시다!
다음 부등식을 푸시오. (PDF 문제 활용)
- 2x – 5 > 4x + 3 (예시 변경)
- 2x – 5 > 2(x – 2)
- 2(x + 1) + x > 3(x – 1) + 2 (예시 변경)
정답 및 해설:
-
2x – 5 > 4x + 3
2x – 4x > 3 + 5
-2x > 8
양변을 -2로 나누면 (부등호 방향 바뀜!): x < 8⁄-2
x < -4
-
2x – 5 > 2(x – 2)
2x – 5 > 2x – 4
2x – 2x > -4 + 5
0 \cdot x > 1
좌변은 항상 0인데, 0이 1보다 클 수 없으므로 이 부등식을 만족하는 x는 없습니다.
해가 없다.
-
2(x + 1) + x > 3(x – 1) + 2
2x + 2 + x > 3x – 3 + 2
3x + 2 > 3x – 1
3x – 3x > -1 – 2
0 \cdot x > -3
좌변은 항상 0이고, 0은 -3보다 항상 크므로 이 부등식은 x의 값에 관계없이 항상 성립합니다.
해는 모든 실수이다. (유사 예시 )
부등식을 풀 때는 항상 x의 계수가 양수인지, 음수인지, 아니면 0인지에 따라 풀이 방법이 달라진다는 것을 명심하세요! 특히 a=0일 때는 b의 부호에 따라 해가 없거나 모든 실수가 될 수 있답니다. 😉
오늘은 일차부등식 ax > b 꼴의 풀이 방법을 x의 계수 a의 부호에 따라 자세히 알아보았습니다. 특히 a=0일 때 해가 ‘없거나’ 또는 ‘모든 실수’가 되는 특별한 경우를 잘 이해하는 것이 중요했죠? 부등식의 기본 성질, 특히 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀐다는 점을 항상 기억하면서 문제를 해결해나가시길 바랍니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 여러 개의 부등식을 한 쌍으로 묶어 푸는 ‘연립부등식’에 대해 알아보겠습니다. 🔗