079 부정방정식: 해가 무수히 많을 때의 해결 전략! 🌌
안녕하세요, 수학의 무한한 가능성을 탐험하는 친구들! 👋 우리가 방정식을 풀 때, 보통은 미지수의 개수와 방정식의 개수가 같아서 해가 하나로 정해지거나 몇 개로 유한하게 나왔어요. 그런데 만약 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많다면 어떻게 될까요? 이런 경우에는 해가 하나로 딱 정해지지 않고 무수히 많이 존재할 수 있는데, 이러한 방정식을 부정방정식(Indeterminate Equation)이라고 불러요. ‘부정(不定)’이란 ‘정할 수 없다’는 뜻이죠. 오늘은 이 부정방정식이 무엇인지, 그리고 어떤 특별한 조건이 주어졌을 때 그 무수히 많은 해 중에서 우리가 원하는 해를 찾아낼 수 있는지 알아볼 거예요! 🌠
📝 핵심만정리: 부정방정식과 그 해법!
- 부정방정식: 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 적어서 해가 무수히 많이 존재하여 하나로 정할 수 없는 방정식.
(예: 미지수는 2개인데 방정식은 1개인 경우 x + y = 2) - 부정방정식의 해결 조건: 부정방정식 자체만으로는 해가 무수히 많지만, 미지수에 대한 특별한 조건(예: 정수 조건, 자연수 조건, 유리수 조건, 실수 조건)이 추가로 주어지면 해가 유한개로 정해지거나 특정 형태로 제한될 수 있어요.
즉, 부정방정식은 부족한 식의 개수를 대신할 ‘조건’을 통해 해의 범위를 좁혀나가는 방식으로 푼답니다!
🤔 부정방정식이란 무엇일까요? (미지수가 더 많아요!)
개념정리 79-1: 해가 너무 많아서 정할 수 없는 방정식
일반적으로 우리가 연립방정식을 풀 때, 미지수의 개수만큼 독립적인 방정식이 주어져야 해를 유일하게 결정할 수 있었어요. 예를 들어 미지수가 2개(x, y)면 방정식도 2개가 필요했죠.
하지만 부정방정식은 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 적은 경우를 말해요. 이 때문에 해가 하나로 정해지지 않고 무수히 많이 존재하게 됩니다.
예시: 방정식 x + y = 2
이 방정식은 미지수는 x, y로 2개인데, 방정식은 1개뿐이죠? 이 식을 만족하는 (x,y) 순서쌍은 다음과 같이 무수히 많아요:
- (0, 2) → 0+2=2 (참)
- (2, 0) → 2+0=2 (참)
- (1, 1) → 1+1=2 (참)
- (-1, 3) → -1+3=2 (참)
- (0.5, 1.5) → 0.5+1.5=2 (참)
- … 등등
이처럼 해가 너무 많아서 “이것이 바로 해다!”라고 하나로 정할 수 없기 때문에 ‘부정(不定)’ 방정식이라고 부르는 것이랍니다.
💡 부정방정식의 해가 정해지는 조건들!
개념정리 79-2: 조건이 해를 제한한다!
부정방정식은 그 자체로는 해가 무수히 많지만, 문제에서 미지수에 대한 특별한 조건이 주어진다면, 그 조건을 만족하는 해는 유한개로 정해지거나 특정 형태로 제한될 수 있어요. 마치 넓은 바다에서 특정 물고기만 찾는 것과 같죠! 대표적으로 주어지는 조건들은 다음과 같아요:
- 정수 조건 또는 자연수 조건: 미지수 x, y가 정수(또는 자연수)라는 조건이 붙으면, 가능한 해의 개수가 확 줄어들어요.
예: x+y=2에서 x, y가 자연수라는 조건이 있다면, 해는 (1, 1) 하나뿐이죠! - 유리수 조건: 미지수가 유리수라는 조건이 주어지면, 무리수가 서로 같을 조건 등을 활용하여 해를 구할 수 있어요.
예: 2x – y + √2x = √2에서 x, y가 유리수라면, (2x-y) + (x-1)√2 = 0으로 정리한 후, 2x-y=0이고 x-1=0이어야 하므로 x=1, y=2라는 유일한 해를 얻을 수 있어요. - 실수 조건: 미지수가 실수라는 조건이 주어지면, 완전제곱식의 합이 0이 될 조건 (A2+B2=0 ⇒ A=0, B=0)이나 판별식 D \ge 0 등을 활용하여 해를 구할 수 있어요. (이 내용은 다음 포스팅에서 더 자세히!)
이처럼 부족한 방정식의 개수를 대신할 ‘조건’이 주어지면, 부정방정식의 해를 구체적으로 찾을 수 있게 된답니다!
🧐 개념확인 문제: 조건에 맞는 해 찾기!
이제 배운 내용을 바탕으로 조건이 주어진 부정방정식의 해를 찾아봅시다!
방정식 3x + 2y = 15를 만족시키는 자연수 x, y의 순서쌍 (x,y)를 모두 구하시오. (PDF 문제)
정답 및 해설:
주어진 방정식은 3x + 2y = 15이고, x, y는 자연수라는 조건이 있어요.
식을 y에 대해 정리해 보면, 2y = 15 – 3x ⇒ y = (15 – 3x)⁄2 입니다.
y가 자연수이려면 15 – 3x는 0보다 큰 짝수여야 해요. (분자가 짝수여야 2로 나누어 자연수가 될 수 있고, y \ge 1이므로 15-3x \ge 2여야 합니다.)
또한 x도 자연수이므로 x \ge 1입니다.
이제 x에 자연수를 하나씩 대입해보면서 조건을 만족하는 y를 찾아봅시다.
- x = 1일 때: y = (15 – 3(1))⁄2 = 12⁄2 = 6. (y는 자연수, OK!) ⇒ 순서쌍 (1, 6)
- x = 2일 때: y = (15 – 3(2))⁄2 = (15 – 6)⁄2 = 9⁄2. (y가 자연수가 아님, NG!)
- x = 3일 때: y = (15 – 3(3))⁄2 = (15 – 9)⁄2 = 6⁄2 = 3. (y는 자연수, OK!) ⇒ 순서쌍 (3, 3)
- x = 4일 때: y = (15 – 3(4))⁄2 = (15 – 12)⁄2 = 3⁄2. (y가 자연수가 아님, NG!)
- x = 5일 때: y = (15 – 3(5))⁄2 = (15 – 15)⁄2 = 0. (y가 자연수가 아님, 0은 자연수가 아니에요!)
(더 이상 x 값을 크게 하면 15-3x가 음수가 되어 y가 자연수가 될 수 없어요. 15-3x > 0 ⇒ 15 > 3x ⇒ x < 5 여야 하므로 x는 1, 2, 3, 4만 가능)
따라서 조건을 만족시키는 자연수 x, y의 순서쌍은 (1, 6)과 (3, 3) 입니다.
이처럼 미지수에 대한 조건(정수, 자연수 등)이 주어지면, 그 조건을 이용하여 해의 범위를 좁혀나갈 수 있어요! 😉
오늘은 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많아 해가 무수히 많이 존재하는 ‘부정방정식’과, 여기에 특별한 조건(정수, 자연수, 유리수, 실수 조건 등)이 주어졌을 때 해를 구하는 방법에 대해 알아보았습니다. 특히 정수나 자연수 조건이 있을 때는 가능한 값들을 하나씩 대입해보거나, 식을 변형하여 약수와 배수의 성질을 이용하는 경우가 많다는 것을 알게 되었죠? 부정방정식은 문제 해결에 창의적인 접근을 요구하기도 하니, 다양한 유형을 접해보는 것이 중요해요! 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 정수 조건의 부정방정식을 푸는 구체적인 기술에 대해 더 자세히 알아보겠습니다. 🧩