070 고차방정식 켤레근의 성질: 유리수/실수 계수일 때 짝꿍근의 확장! ♊
안녕하세요, 수학의 패턴을 추적하는 명탐정 친구들! 👋 이차방정식에서 계수가 유리수일 때 무리수 근이 켤레로, 계수가 실수일 때 허수 근이 켤레복소수로 나타나는 ‘켤레근의 성질’을 기억하나요? 오늘은 이 신기한 짝꿍근의 성질이 이차방정식을 넘어 삼차 이상의 고차방정식에서도 성립하는지, 그리고 어떤 조건에서 성립하는지 알아볼 거예요! 이 성질을 잘 이해하면 고차방정식의 한 근만 주어져도 다른 근들을 추측하고, 나아가 미지의 계수까지 알아낼 수 있답니다. 함께 켤레근의 세계를 더 넓게 탐험해 볼까요? 🌍
📝 핵심만정리: 고차방정식에서도 켤레근은 유효! (조건 확인 필수!)
이차 이상의 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0에서 다음과 같은 켤레근의 성질이 성립해요. (단, p, q는 각각 유리수 또는 실수, q ≠ 0)
- 1. 계수가 모두 유리수인 방정식 f(x)=0일 때:
만약 p + q√m (p, q는 유리수, √m은 무리수)이 한 근이면, 다른 한 근은 반드시 그 켤레인 p – q√m 이에요. - 2. 계수가 모두 실수인 방정식 f(x)=0일 때:
만약 p + qi (p, q는 실수, q ≠ 0, i는 허수단위)가 한 근이면, 다른 한 근은 반드시 그 켤레복소수인 p – qi 이에요.
아주 중요한 점! 이 성질들은 방정식의 모든 계수가 각각 ‘유리수’ 또는 ‘실수’라는 계수 조건이 명확히 주어졌을 때만 성립합니다. 이 조건이 없다면 함부로 켤레근을 다른 근이라고 단정 지을 수 없어요!
삼차방정식에서의 활용 팁!
- 유리계수 삼차방정식의 한 근이 p+q√m이면, 다른 한 근은 p-q√m이고, 나머지 한 근은 반드시 유리수예요. (삼차방정식은 근이 3개니까요!)
- 실계수 삼차방정식의 한 근이 p+qi이면, 다른 한 근은 p-qi이고, 나머지 한 근은 반드시 실수예요. (허근은 항상 켤레로 존재하므로, 나머지 하나는 실근일 수밖에 없어요.)
🤔 켤레근의 성질, 왜 고차방정식에서도 통할까요?
개념정리 70-1: 근의 공식과 켤레복소수의 성질 확장
이차방정식에서 켤레근의 성질이 나타나는 이유는 근의 공식 x = (-b ± √D)⁄2a의 ±√D 부분 때문이었죠. √D가 무리수이거나 순허수일 때, +와 -\radic;D가 쌍으로 근을 만들었어요.
고차방정식의 경우, 일반적인 근의 공식은 매우 복잡하거나 존재하지 않지만, 계수가 실수인 다항식 f(x)에 대해 방정식 f(x)=0이 허근 z = p+qi를 갖는다면, f(z)=0이 성립해요. 이때, f(x)의 모든 계수가 실수이므로, 각 항에 켤레복소수를 취해도 계수는 변하지 않아요 (ak = ak). 그리고 켤레복소수의 성질(zn = (z)n, A+B = A+B, AB = AB)을 이용하면 f(z) = f(z)임을 보일 수 있어요.
즉, f(z)=0이면 f(z) = 0 = 0이고, 따라서 f(z)=0도 성립해요. 이것은 z의 켤레복소수인 z = p-qi도 방정식 f(x)=0의 근이 된다는 것을 의미합니다!
계수가 유리수인 경우와 무리수 근에 대해서도 비슷한 원리로 설명할 수 있답니다.
용어 정리! ‘실계수’, ‘유리계수’ 🧑🏫
“실계수 방정식”이란 방정식의 모든 계수가 실수라는 뜻이고, “유리계수 방정식”이란 모든 계수가 유리수라는 뜻이에요. 계수가 유리나 실리콘으로 만들어졌다는 뜻이 아니랍니다! (재미로… 😄)
🚨 계수 조건 확인은 필수 중의 필수!
개념정리 70-2: 조건 없이는 섣불리 판단 금지!
이차방정식 때와 마찬가지로, 고차방정식에서도 켤레근의 성질을 사용하기 전에는 반드시 계수 조건을 확인해야 해요.
- 무리수 근 p+q√m에 대해 p-q√m도 근이라고 하려면, 방정식의 모든 계수가 유리수여야 합니다.
- 허수 근 p+qi에 대해 p-qi도 근이라고 하려면, 방정식의 모든 계수가 실수여야 합니다.
만약 문제에서 이러한 계수 조건이 명시되어 있지 않거나, 계수 중에 무리수 또는 허수가 포함되어 있다면 켤레근의 성질을 함부로 적용해서는 안 돼요. 그럴 때는 다른 방법으로 접근해야 합니다.
🧐 개념확인 문제: 켤레근으로 미지수 찾기!
이제 배운 켤레근의 성질을 활용해서 삼차방정식의 미지수와 나머지 근을 찾아봅시다!
삼차방정식 x3 + ax2 + bx + c = 0의 두 근이 3과 1+2i일 때, 실수 a, b, c의 값을 구하시오. (단, i = √-1) (PDF 문제)
정답 및 해설:
주어진 삼차방정식의 계수 1, a, b, c가 모두 실수이고, 한 근이 1+2i이므로 켤레근의 성질에 의해 다른 한 근은 반드시 1-2i입니다.
따라서 이 삼차방정식의 세 근은 3, 1+2i, 1-2i 입니다.
이제 삼차방정식의 근과 계수의 관계를 이용합니다.
- 세 근의 합: 3 + (1+2i) + (1-2i) = 3+1+1 = 5
근과 계수의 관계에서 세 근의 합은 –a⁄1 = -a 이므로, -a = 5 ⇒ a = -5. - 두 근끼리의 곱의 합:
3(1+2i) + (1+2i)(1-2i) + (1-2i)3
= (3+6i) + (12 – (2i)2) + (3-6i)
= 3+6i + (1 – 4i2) + 3-6i
= 3+6i + (1 + 4) + 3-6i = 3+6i+5+3-6i = 11
근과 계수의 관계에서 두 근끼리의 곱의 합은 b⁄1 = b 이므로, b = 11. - 세 근의 곱:
3(1+2i)(1-2i) = 3(12 – (2i)2) = 3(1 – (-4)) = 3(1+4) = 3(5) = 15
근과 계수의 관계에서 세 근의 곱은 –c⁄1 = -c 이므로, -c = 15 ⇒ c = -15.
따라서 a = -5, b = 11, c = -15 입니다.
켤레근의 성질을 알고 있으니, 한 허근만 주어져도 나머지 한 허근을 바로 알 수 있고, 이를 통해 모든 근을 파악하여 문제를 해결할 수 있었죠? 😉
오늘은 이차방정식에서 배웠던 켤레근의 성질이 삼차 이상의 고차방정식에서도 (계수 조건만 만족한다면!) 동일하게 적용될 수 있다는 것을 배웠습니다. 계수가 유리수일 때는 무리수 근이, 계수가 실수일 때는 허수 근이 켤레로 나타난다는 점, 그리고 이 성질을 사용하기 전에는 반드시 계수 조건을 확인해야 한다는 점을 꼭 기억해주세요! 이 성질은 고차방정식의 근을 추론하거나 미지의 계수를 찾는 데 매우 유용하게 사용된답니다. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 방정식 x3=1의 허근이 가지는 특별한 성질에 대해 알아보겠습니다. 🎲