1단계: 첫 번째 식을 잘 살펴보기
x^{2}-xy-2y^{2}=0 이 식, 가만히 보니까 우리 중학교 때 배운 인수분해가 될 것 같지 않아? 곱해서 -2, 더해서 -1이 되는 두 수를 찾으면 -2랑 1이잖아!

(x-2y)(x+y) = 0

어떤 두 개를 곱해서 0이 나왔다는 건, 둘 중 하나는 꼭 0이라는 뜻이지. 그래서 우리는 두 가지 경우를 생각할 수 있어.

👉 경우 1: x = 2y
👉 경우 2: x = -y

2단계: 두 가지 경우를 각각 풀어보기
이제 위에서 찾은 두 가지 경우를 두 번째 식 2x^{2}+y^{2}=9에 넣어서 x, y 값을 찾아볼 거야.

경우 1 (x = 2y)
x 자리에 2y를 쏙 넣어주면,
2(2y)^2 + y^2 = 9
2(4y^2) + y^2 = 9 \implies 8y^2 + y^2 = 9 \implies 9y^2 = 9
y^2=1 이니까 y는 1 또는 -1이네. 그때의 x랑 xy 값은?
– y=1일 때, x=2(1)=2. 그래서 xy = (2)(1) = 2
– y=-1일 때, x=2(-1)=-2. 그래서 xy = (-2)(-1) = 2

경우 2 (x = -y)
이번엔 x 자리에 -y를 넣어보자!
2(-y)^2 + y^2 = 9
2y^2 + y^2 = 9 \implies 3y^2 = 9
y^2=3 이니까 y는 \pm\sqrt{3} 이네.
– y=\sqrt{3}일 때, x=-\sqrt{3}. 그래서 xy = (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = -3
– y=-\sqrt{3}일 때, x=\sqrt{3}. 그래서 xy = (\sqrt{3})(-\sqrt{3}) = -3

3단계: 최댓값 찾기
우리가 찾은 xy 값은 2랑 -3, 두 가지가 나왔어. 이 중에서 더 큰 값, 즉 최댓값은 당연히 2겠지?

1단계: ‘만능 열쇠’ 찾기
네 개의 식 중에서 a, b가 없는 깔끔한 두 식 x+y=6과 x^2+y^2=20을 먼저 풀어보자. 여기서 나온 해가 바로 공통인 해야.

x+y=6에서 y=6-x로 바꾼 다음, 이걸 x^2+y^2=20에 대입하는 거야.
x^2 + (6-x)^2 = 20
x^2 + 36 – 12x + x^2 = 20
2x^2 – 12x + 16 = 0
전부 2로 나눠주면 x^2 – 6x + 8 = 0 이라는 깔끔한 이차방정식이 나오지!
인수분해하면 (x-2)(x-4)=0. 따라서 x=2 또는 x=4.

문제에 (단, x>y) 라는 중요한 조건이 있었어!
– x=2 이면 y=4. 이건 x니까 탈락!
– x=4 이면 y=2. 이건 x>y니까 합격!

좋았어! 공통인 해는 (4, 2) 라는 걸 찾아냈어!

2단계: a, b 값 구하기
이제 찾은 ‘만능 열쇠’ x=4, y=2를 나머지 식에 대입만 하면 끝!

👉 4x – y = a \implies 4(4) – 2 = a \implies a = 14
👉 x – by = 5 \implies 4 – b(2) = 5 \implies -2b = 1 \implies b = -\frac{1}{2}

3단계: 최종 답 계산하기
문제에서 물어본 건 ab의 값이니까, 14 \times (-\frac{1}{2}) = -7.

1단계: 수직선 해석하기
수직선을 보면 해가 -1 < x \le 2라고 나와있어. 이건 x > -1 그리고 x \le 2 이 두 개가 합쳐진 뜻이야.

2단계: 원래 식과 짝 맞추기
– ax-b \le 0 \implies ax \le b가 x \le 2가 되어야 해. 부등호 방향이 그대로인 걸 보니 a는 양수구나! 그리고 \frac{b}{a}=2, 즉 b=2a라는 것도 알 수 있지.
– cx+d > 0 \implies cx > -d가 x > -1이 되어야 해. 이것도 부등호 방향이 그대로네! 그럼 c도 양수고, -\frac{d}{c}=-1, 즉 d=c라는 걸 알 수 있어.

3단계: 새로운 부등식 풀기
이제 우리가 풀어야 할 문제는 ax+b \le 0과 cx-d > 0 이야. 위에서 알아낸 비밀(b=2a, d=c)을 사용해 보자!

👉 ax+b \le 0 \implies ax+2a \le 0 \implies a(x+2) \le 0
a는 양수니까 양변을 a로 나눠도 부등호는 그대로! x \le -2

👉 cx-d > 0 \implies cx-c > 0 \implies c(x-1) > 0
c도 양수니까 양변을 c로 나누면 x > 1

4단계: 공통 범위 찾기
자, 그럼 x는 -2보다 작거나 같으면서, 동시에 1보다는 커야 한대. 그런 수가 세상에 있을까? 없겠지! 두 범위는 전혀 겹치지 않아.

1단계: 원래 상태 설정하기
작년 가격을 P, 작년 판매량을 Q라고 하자. 그럼 작년 매출은 P \times Q야.

2단계: 바뀐 상태 식으로 표현하기
– 가격이 x% 올랐으니, 새 가격은 P(1 + \frac{x}{100})
– 판매량이 \frac{2}{3}x% 감소했으니, 새 판매량은 Q(1 – \frac{\frac{2}{3}x}{100}) = Q(1 – \frac{2x}{300})

3단계: 문제의 조건으로 부등식 세우기
새 매출(새 가격 × 새 판매량)이 작년 매출보다 \frac{8}{3}\% 이상 증가했대.

P(1 + \frac{x}{100}) \times Q(1 – \frac{2x}{300}) \ge (P \times Q)(1 + \frac{\frac{8}{3}}{100})

양쪽에 똑같이 있는 P, Q는 약분해서 없애버릴 수 있어. 훨씬 간단해졌지?
(1 + \frac{x}{100}) (1 – \frac{2x}{300}) \ge (1 + \frac{8}{300})

4단계: 부등식 풀기
분수가 있으면 계산하기 힘드니까, 양변에 100 \times 300을 곱해서 정리해 보자.
\frac{100+x}{100} \times \frac{300-2x}{300} \ge \frac{308}{300}
(100+x)(300-2x) \ge 308 \times 100
30000 + 100x – 2x^2 \ge 30800
한쪽으로 다 넘겨서 정리하면,
-2x^2 + 100x – 800 \ge 0
최고차항을 양수로 만들고 2로 나눠주면 부등호 방향이 바뀌겠지?
x^2 – 50x + 400 \le 0
인수분해하면 (x-10)(x-40) \le 0.

이차부등식의 해는 두 근 사이! 따라서 10 \le x \le 40 이라는 범위가 나와.

5단계: 답 찾기
문제에서는 x의 최댓값을 물어봤으니까, 범위에서 가장 큰 값인 40이 답이 되겠네!