이차식 ax² + bx + c를 인수분해할 때, 만약 이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 두 근을 α (알파) 와 β (베타) 라고 한다면, 이 이차식은 다음과 같이 인수분해돼요.

ax² + bx + c = a(x – α)(x – β)

이 방법의 핵심은 다음과 같아요:

1. 주어진 이차식을 = 0으로 놓아 이차방정식을 만들어요.
2. 이 이차방정식의 두 근 α, β를 (필요하다면 근의 공식을 사용하여 복소수 범위까지) 구해요.
3. 구한 두 근을 이용하여 a(x – α)(x – β) 꼴로 인수분해 결과를 작성해요. (이때 a는 원래 이차식의 x²의 계수예요!)

이 방법을 사용하면 계수가 실수인 어떤 이차식이든 복소수 범위에서 항상 두 일차식의 곱으로 인수분해할 수 있답니다!

개념정리 51-1: 인수정리와 근과 계수의 관계 활용!

이차식 f(x) = ax² + bx + c가 있다고 해봅시다. 만약 이차방정식 f(x) = 0, 즉 ax² + bx + c = 0의 두 근이 α와 β라면, 인수정리에 의해 f(x)는 (x-\alpha)와 (x-\beta)를 인수로 가져야 해요.

이때 f(x)의 이차항의 계수가 a이므로, f(x)는 다음과 같이 표현될 수밖에 없어요.

ax² + bx + c = a(x – α)(x – β)

이것이 바로 근을 이용하여 이차식을 인수분해하는 핵심 원리랍니다!

또한, 이 식의 우변을 전개하면 a\{x² – (α+\beta)x + \alpha\beta\}가 되죠? 여기서 근과 계수의 관계(α+\beta = -b/a, α\beta = c/a)를 대입하면 원래의 이차식 ax²+bx+c와 같아짐을 확인할 수 있어요.

즉, 이차방정식의 근을 안다는 것은 그 이차식을 인수분해하는 데 결정적인 단서를 아는 것과 같아요!

개념정리 51-2: 근의 공식이 열쇠!

이차식 ax² + bx + c가 인수분해 공식을 바로 적용하기 어렵거나, 실수 범위에서는 인수분해가 안 되는 것처럼 보일 때, 우리는 복소수 범위까지 생각하여 인수분해할 수 있어요. 그 과정은 다음과 같습니다.

[복소수 범위 인수분해 단계]

1. 이차방정식 세우기: 주어진 이차식 ax² + bx + c에 = 0을 붙여 이차방정식을 만들어요.
2. 근 구하기 (근의 공식 활용): 이 이차방정식의 두 근 α, β를 근의 공식을 사용하여 구해요. 이때 근이 허근이 나올 수도 있겠죠?
   근의 공식: x = ^{(-b ± √(b2 – 4ac))}⁄_2a
3. 인수분해 형태로 작성: 구한 두 근 α, β와 원래 이차식의 x²의 계수 a를 이용하여 다음과 같이 인수분해 결과를 작성해요.
   ax² + bx + c = a(x – α)(x – β)