045 가우스 기호를 포함한 방정식 풀이: 정수 구간별 해결 전략! 🔢
안녕하세요, 수학의 특별한 기호 탐험가 친구들! 👋 방정식을 풀다 보면 가끔 [x]와 같이 대괄호로 둘러싸인 기호를 만날 때가 있어요. 이것이 바로 가우스 기호인데요, 처음 보면 조금 낯설 수 있지만 그 의미만 정확히 알면 어렵지 않답니다. 가우스 기호를 포함한 방정식은 일반적인 방정식 풀이법과는 조금 다른 특별한 접근이 필요해요. 오늘은 이 가우스 기호의 뜻을 알아보고, 가우스 기호가 포함된 방정식을 어떻게 풀어야 하는지 그 전략을 함께 배워볼 거예요! 🧐
📝 핵심만정리: 가우스 기호 방정식 풀이법!
- 가우스 기호의 정의: 실수 x에 대하여 [x]는 x보다 크지 않은 (즉, 작거나 같은) 최대의 정수를 의미해요.
- 예: [3.14] = 3, [5] = 5, [-2.7] = -3
- 가우스 기호의 중요 성질: 정수 n에 대하여,
[x] = n \iff n \le x < n+1 - 가우스 기호를 포함한 방정식 풀이 전략:
- x의 값의 범위를 정수 구간으로 나눈다: 가우스 기호 안의 식 또는 [x] 값 자체가 정수가 되는 지점을 기준으로 범위를 나누어요. (예: n \le x < n+1)
- 각 범위에서 [x]의 값을 특정 정수 값으로 대체하여 방정식을 풀어요.
- 구한 x의 값이 처음에 나눈 범위에 속하는지 반드시 확인하여 최종 해를 결정해요.
가우스 기호 문제는 [x]가 정수라는 점과 범위를 나누어 생각하는 것이 핵심이랍니다!
🤔 가우스 기호 [x]란 무엇일까요?
개념정리 45-1: x를 넘지 않는 최대 정수!
실수 x에 대하여 기호 [x]는 “x보다 크지 않은 최대의 정수” 또는 “x를 넘지 않는 최대의 정수”를 의미해요. 쉽게 말해, 수직선 위에서 x 바로 왼쪽에 있거나 x 자신인 정수 값을 말하는 거죠.
가우스 기호 값 구하기 예시:
- [3.14]: 3.14보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 것은 3이므로, 3
- [7]: 7보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 것은 7 자신이므로, 7 (x가 정수이면 [x]=x)
- [0.5]: 0.5보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 것은 0이므로, 0
- [-2.7]: -2.7보다 크지 않은 정수들을 생각해보면 …, -5, -4, -3 이 있죠? 이 중 가장 큰 것은 -3이므로, -3 (음수일 때 주의!)
- [-4]: -4보다 크지 않은 정수 중 가장 큰 것은 -4 자신이므로, -4
가우스 기호의 가장 중요한 성질은, 어떤 정수 n에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다는 것이에요.
[x] = n \iff n \le x < n+1
예를 들어, [x]=3이라면 3 \le x < 4라는 뜻이고, 반대로 3 \le x < 4라면 [x]=3이라는 뜻이죠. 이 성질이 가우스 기호를 포함한 방정식을 푸는 핵심 열쇠가 된답니다!
🗝️ 가우스 기호를 포함한 방정식 풀이법: 범위 나누기의 기술!
개념정리 45-2: 정수 구간별로 나누어 해결하기
가우스 기호 [x]를 포함한 방정식은 [x]의 값이 정수 n으로 정해지면 x의 범위가 n \le x < n+1로 제한되기 때문에, 이 성질을 이용하여 x의 값의 범위를 정수 구간으로 나누어 푸는 것이 일반적인 방법이에요.
[가우스 기호 포함 방정식 풀이 단계]
- 범위 설정의 기준 찾기: 방정식에 포함된 [x] (또는 [f(x)]) 때문에 x의 범위가 주어져 있다면 그 범위를 활용하고, 없다면 일반적인 정수 n에 대해 n \le x < n+1로 가정하고 시작해요.
- 정수 구간으로 범위 나누기: 주어진 x의 범위를 [x]의 값이 일정하게 유지되는 정수 단위의 구간들로 나누어요. 예를 들어 1 \le x < 3 이라면, 1 \le x < 2 ([x]=1) 와 2 \le x < 3 ([x]=2) 로 나누는 거죠.
- 각 구간에서 방정식 풀기: 나누어진 각 구간에서 [x] 값을 해당 구간의 정수 값으로 바꾸어 넣고, x에 대한 일반 방정식을 풀어요.
- 해 검토하기: 각 구간에서 구한 x의 값이 처음에 설정했던 해당 구간의 범위 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 해요. 조건을 만족하는 값만이 최종 해가 될 수 있습니다.
예시: 1 \le x < 3일 때, 방정식 3x – [x] = 2x2 – [x]2을 풀어봅시다. (PDF 문제 활용)
주어진 x의 범위는 1 \le x < 3입니다. 이 범위를 [x]의 값이 바뀌는 지점을 기준으로 나누어 생각합니다.
경우 (i): 1 \le x < 2 일 때
이 범위에서는 [x] = 1입니다.
주어진 방정식에 [x]=1을 대입하면: 3x – 1 = 2x2 – 12
3x – 1 = 2x2 – 1
2x2 – 3x = 0
x(2x – 3) = 0
따라서 x = 0 또는 x = 3⁄2 입니다.
그런데 현재 범위는 1 \le x < 2이므로, 이 조건을 만족하는 해는 x = 3⁄2 입니다. (x=0은 범위 밖)
경우 (ii): 2 \le x < 3 일 때
이 범위에서는 [x] = 2입니다.
주어진 방정식에 [x]=2를 대입하면: 3x – 2 = 2x2 – 22
3x – 2 = 2x2 – 4
2x2 – 3x – 2 = 0
이차방정식을 인수분해하면 (2x + 1)(x – 2) = 0
따라서 x = –1⁄2 또는 x = 2 입니다.
현재 범위는 2 \le x < 3이므로, 이 조건을 만족하는 해는 x = 2 입니다. (x=-1⁄2는 범위 밖)
최종 결론: 경우 (i)과 (ii)에서 얻은 해를 모두 종합하면, 주어진 방정식의 해는 x = 3⁄2 또는 x = 2 입니다.
🧐 개념확인 문제: 가우스 기호 방정식 도전!
이제 배운 내용을 바탕으로 가우스 기호를 포함한 방정식을 직접 풀어봅시다!
3 \le x < 5일 때, 방정식 x2 – [x] – 12 = 0을 푸시오. (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.) (PDF 문제)
정답 및 해설:
주어진 x의 범위는 3 \le x < 5입니다. 이 범위를 두 개의 정수 구간으로 나눕니다.
경우 (i): 3 \le x < 4 일 때
이 범위에서 [x] = 3입니다. 방정식에 대입하면:
x2 – 3 – 12 = 0 ⇒ x2 – 15 = 0 ⇒ x2 = 15
따라서 x = ±√15 입니다.
여기서 √9 < √15 < √16 이므로 3 < √15 < 4 입니다. 또한 -\radic;15는 주어진 범위 3 \le x < 4에 속하지 않습니다.
따라서 이 경우의 해는 x = √15 입니다.
경우 (ii): 4 \le x < 5 일 때
이 범위에서 [x] = 4입니다. 방정식에 대입하면:
x2 – 4 – 12 = 0 ⇒ x2 – 16 = 0 ⇒ x2 = 16
따라서 x = ±4 입니다.
주어진 범위 4 \le x < 5를 만족하는 해는 x = 4 입니다. (x=-4는 범위 밖)
최종 결론: 경우 (i)과 (ii)에서 얻은 해를 모두 종합하면, 주어진 방정식의 해는 x = √15 또는 x = 4 입니다.
가우스 기호 문제는 범위를 꼼꼼하게 나누고, 각 범위에서 구한 해가 그 범위에 맞는지 확인하는 과정이 가장 중요해요! 꼼꼼함이 실수를 줄이는 비법이랍니다. 🎯
오늘은 x를 넘지 않는 최대의 정수를 나타내는 가우스 기호 [x]와 이를 포함한 방정식을 푸는 방법에 대해 배웠습니다. 핵심은 [x]=n \iff n \le x < n+1이라는 성질을 이용하여 x의 범위를 정수 구간으로 나누고, 각 구간에서 [x]를 상수로 취급하여 방정식을 푸는 것이었죠? 그리고 마지막으로 구한 해가 해당 범위에 속하는지 반드시 확인해야 했습니다. 가우스 기호는 조금 낯설 수 있지만, 정의와 성질을 정확히 이해하고 차분히 접근하면 해결할 수 있답니다! 오늘도 수고 많으셨습니다! 👍