절댓값 기호를 포함한 방정식을 푸는 가장 기본적인 방법은 절댓값의 정의를 이용하여 절댓값 기호를 없애는 것이에요.

1. 범위 나누기의 기본 원칙:
   • 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값을 경계로 하여 x의 값의 범위를 나누어요.
   • 각 범위에서 절댓값 기호를 없앤 후 방정식을 풀어요. (|A| = A (단, A \ge 0), |A| = -A (단, A < 0))
   • 구한 해가 해당 범위에 속하는지 반드시 확인하여 최종 해를 결정해요.
2. 특수한 형태의 빠른 풀이:
   • |f(x)| = a (a > 0인 상수) 꼴: f(x) = a 또는 f(x) = -a로 풀어요.
     (만약 a=0이면 f(x)=0, a<0이면 해가 없어요. )
   • |f(x)| = |g(x)| 꼴: f(x) = g(x) 또는 f(x) = -g(x)로 풀어요.

범위를 정확히 나누고 각 범위에서 해를 구한 뒤, 원래 범위에 맞는지 확인하는 과정이 중요해요!

개념정리 42-1: 거리의 개념, 절댓값!

본격적으로 절댓값 방정식을 풀기 전에, 절댓값의 정의를 다시 한번 떠올려 볼까요?

어떤 수 A의 절댓값, 기호로는 |A|라고 쓰고, 수직선 위에서 원점(0)으로부터 수 A까지의 거리를 의미해요. 거리는 항상 0 이상이므로, 절댓값의 결과도 항상 0 이상이 되죠.

절댓값 기호를 없애는 방법은 다음과 같아요:

• A \ge 0 이면 (즉, A가 0이거나 양수이면): |A| = A (그대로 나와요)
• A < 0 이면 (즉, A가 음수이면): |A| = -A (마이너스 부호를 붙여서 양수로 만들어 나와요)

예를 들어, |3| = 3 이고, |-3| = -(-3) = 3 입니다.

이 기본 정의가 절댓값 방정식을 푸는 모든 과정의 출발점이 된답니다!

개념정리 42-2: 범위 나누어 절댓값 없애기

절댓값 기호가 하나 또는 여러 개 포함된 방정식을 푸는 가장 일반적인 방법은 경우를 나누어 절댓값 기호를 없애는 것이에요.

[풀이 단계]

1. 경계값 찾기: 각각의 절댓값 기호 안의 식이 0이 되게 하는 x의 값을 찾아요. 이 값들이 x의 범위를 나누는 경계가 됩니다.
2. 범위 나누기: 찾은 경계값들을 기준으로 x의 값의 범위를 여러 구간으로 나누어요.
   • 절댓값 기호가 1개 (|x-a|)이면: x < a, x \ge a의 2개 범위로 나뉘어요.
   • 절댓값 기호가 2개 (|x-a| \pm |x-b|, 단 a < b)이면: x < a, a \le x < b, x \ge b의 3개 범위로 나뉘어요.
3. 각 범위에서 방정식 풀기: 나누어진 각 범위에 따라 절댓값 기호 안의 식의 부호를 판단하고, 절댓값 기호를 없앤 후 방정식을 풀어요.
4. 해 확인하기: 각 범위에서 구한 해가 해당 범위의 조건을 만족하는지 반드시 확인해야 해요. 조건을 만족하는 해만이 최종적인 답이 될 수 있습니다.

개념정리 42-3: 간단 공식을 활용하자!

어떤 형태의 절댓값 방정식은 범위를 일일이 나누지 않고도 더 간단하게 풀 수 있는 공식이 있어요!

1. |f(x)| = a (a는 상수) 꼴

• a > 0 이면: f(x) = a 또는 f(x) = -a 를 풀면 됩니다.
  예: |x-2| = 5 ⇒ x-2 = 5 또는 x-2 = -5. ⇒ x=7 또는 x=-3.
• a = 0 이면: f(x) = 0 을 풀면 됩니다.
• a < 0 이면: 절댓값의 결과는 항상 0 이상이므로, 음수가 될 수 없어요. 따라서 해가 없습니다.

2. |f(x)| = |g(x)| 꼴

양변에 모두 절댓값이 있는 경우, f(x) = g(x) 또는 f(x) = -g(x) 를 풀면 됩니다.

(이유: 양변을 제곱하면 |f(x)|² = |g(x)|² ⇒ (f(x))² = (g(x))² ⇒ (f(x))² – (g(x))² = 0 ⇒ (f(x)-g(x))(f(x)+g(x)) = 0 이기 때문이에요!)