04. 최대공약수와 서로소
안녕하세요, 수학 탐험가 친구들! 우리는 지난 시간까지 자연수를 소인수라는 기본 재료로 분해하는 법을 배웠어요. 오늘은 두 개 이상의 자연수가 주어졌을 때, 그들의 ‘공통점’을 찾는 방법을 알아볼 거예요. 바로 ‘공약수’와 ‘최대공약수’랍니다!
⭐ 핵심만 정리 ⭐
오늘의 핵심 개념들을 빠르게 훑어볼까요?
- 공약수: 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수예요.
- 최대공약수: 이름 그대로! 공약수 중에서 가장 큰 수랍니다.
- 최대공약수의 성질: 놀랍게도, 두 수의 모든 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수와 같아요.
- 서로소: 최대공약수가 1인 두 자연수의 관계를 말해요.
- 최대공약수 구하는 법: 소인수분해 후, 공통인 소인수의 지수가 작은 쪽을 택해서 곱하면 돼요.
공약수와 최대공약수, 그게 뭔데? 🧐
두 개의 숫자를 나란히 놓고, 둘 다 나눌 수 있는 숫자들을 찾아볼까요? 그게 바로 공약수와 최대공약수의 시작이에요!
개념정리 1. 공약수와 최대공약수
공약수(Common Divisor)는 두 개 이상의 자연수를 공통으로 나눌 수 있는 약수들이고, 최대공약수(Greatest Common Divisor, GCF)는 이 공약수들 중에서 가장 큰 수를 의미해요.
- 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- 24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
두 수의 약수 목록에서 공통으로 보이는 숫자들이 있죠?
- 18과 24의 공약수: 1, 2, 3, 6
- 18과 24의 최대공약수: 6
놀라운 성질 발견!
18과 24의 공약수인 1, 2, 3, 6은 최대공약수인 6의 약수와 정확히 일치해요. 이처럼 두 개 이상의 자연수의 공약수는 그들의 최대공약수의 약수와 같습니다. 이 성질은 아주 중요하니 꼭 기억해주세요!
서로소, 공통점이 1밖에 없는 사이 🤝
가끔은 두 수를 아무리 살펴봐도 공통된 약수가 1 말고는 전혀 없는 경우가 있어요. 이런 특별한 관계를 ‘서로소’라고 부른답니다.
개념정리 2. 서로소 (Coprime)
서로소는 최대공약수가 1인 두 자연수를 말해요. 즉, 1 외에는 두 수를 동시에 나눌 수 있는 수가 없다는 뜻이죠.
- 8의 약수: 1, 2, 4, 8
- 15의 약수: 1, 3, 5, 15
공통인 약수가 1뿐이네요! 따라서 8과 15의 최대공약수는 1이고, 두 수는 서로소 관계에 있어요.
참고: 서로소 친구들
- 1은 모든 자연수와 서로소랍니다.
- 서로 다른 두 소수(예: 7과 13)는 항상 서로소예요.
최대공약수, 빠르게 구하는 두 가지 기술! ⚙️
숫자가 커지면 일일이 약수를 나열하기 힘들겠죠? 소인수분해를 이용하면 아주 빠르고 정확하게 최대공약수를 찾을 수 있어요.
개념정리 3. 최대공약수 구하는 방법
방법 1: 소인수분해 이용하기
두 수를 각각 소인수분해 한 뒤, 공통으로 가진 소인수들을 짝지어주는 방법이에요.
- 각 수를 소인수분해해서 위아래로 나란히 써요.
- 공통으로 들어있는 소인수를 찾고, 지수가 다르면 더 작은 지수를 선택해요. 지수가 같다면 그대로 선택합니다.
- 선택한 소인수들을 모두 곱하면 최대공약수 완성!
\(40 = 2^3 \times 5^1\)
\(72 = 2^3 \times 3^2\)
- 공통인 소인수는 2뿐이네요.
- 2의 지수는 둘 다 3으로 같으니, \(2^3\)을 선택해요.
- 따라서, 최대공약수는 \(2^3 = 8\) 입니다.
방법 2: 공약수로 나누기
두 수를 1이 아닌 공통된 약수로 계속 나누어가는 방법이에요.
2 | 40 72
2 | 20 36
2 | 10 18
5 9 <-- 몫(5, 9)이 서로소가 되면 멈춤!
왼쪽에 나누어 준 공약수들을 모두 곱하면 최대공약수가 됩니다.
최대공약수 = \(2 \times 2 \times 2 = 8\)
개념확인 🧐
자, 이제 직접 풀어보며 오늘 배운 내용을 확인해볼 시간이에요! '정답 확인' 버튼을 눌러 답을 맞춰보세요.
Q1. 두 수 \(2^3 \times 3^2 \times 5\) 와 \(2^2 \times 3^3 \times 7\) 의 최대공약수는?
1. 공통인 소인수는 2와 3입니다.
2. 소인수 2의 지수는 3과 2이므로, 더 작은 2를 선택해요. (\(2^2\))
3. 소인수 3의 지수는 2와 3이므로, 더 작은 2를 선택해요. (\(3^2\))
4. 따라서 최대공약수는 \(2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\) 입니다.
Q2. 45와 60의 최대공약수를 두 가지 방법으로 각각 구해보세요.
방법 1 (소인수분해):
\(45 = 3^2 \times 5\)
\(60 = 2^2 \times 3 \times 5\)
공통인 소인수는 3과 5, 지수가 작은 쪽을 택하면 \(3^1 \times 5^1 = 15\).
방법 2 (나누기):
3 | 45 60
5 | 15 20
3 4 (서로소!)
최대공약수는 \(3 \times 5 = 15\) 입니다.
두 방법 모두 편리하지만, 숫자가 복잡해질수록 소인수분해를 이용하는 방법이 더 강력하답니다! 두 방법 모두 충분히 연습해서 자기 것으로 만들어보세요. 다음 시간에는 최소공배수에 대해 알아볼게요! 기대해주세요! 😄
잠시 후 정답이 공개됩니다.
(광고 시뮬레이션)
