a, b가 실수일 때, 음수의 제곱근 계산에서 특별히 주의해야 할 두 가지 성질이 있어요.

1. 곱셈의 경우:
   • 만약 a < 0 이고 b < 0 이면 (즉, 둘 다 음수이면), √a √b = -√(ab) 가 됩니다. (앞에 마이너스가 생겨요!)
   • 그 외의 경우 (하나만 음수이거나 둘 다 양수 또는 0일 때)는 √a √b = √(ab) 가 그대로 성립해요.
2. 나눗셈의 경우:
   • 만약 a > 0 이고 b < 0 이면 (즉, 분자는 양수, 분모는 음수이면), ^√a⁄_√b = -√(^a⁄_b) 가 됩니다. (앞에 마이너스가 생겨요!)
   • 그 외의 경우 (분모가 0이 아닐 때)는 ^√a⁄_√b = √(^a⁄_b) 가 그대로 성립해요.

이 두 가지 특별한 경우를 제외하고는 우리가 알던 제곱근 계산법을 따르면 된답니다! 항상 루트 안의 음수는 i를 사용해서 밖으로 꺼내 계산하는 습관을 들이면 실수를 줄일 수 있어요.

개념정리 39-1: √a √b 계산법

두 실수 a, b에 대하여 √a √b를 계산할 때, 대부분의 경우 √(ab)와 결과가 같지만, 딱 한 가지 예외 상황이 있어요.

바로 a < 0 이고 b < 0 일 때 (즉, 둘 다 음수일 때) 입니다. 이 경우에만 √a √b = -√(ab) 가 됩니다.

왜 그런지 i를 사용해서 확인해 볼까요? (단, a’ > 0, b’ > 0이라고 합시다.)

• Case 1: a > 0, b > 0 (둘 다 양수)
  √a √b = √(ab) (기존 규칙)
  예: √2 √3 = √6
• Case 2: a > 0, b < 0 (하나는 양수, 하나는 음수)
  Let b = -b’ (단, b’ > 0).
  √a √b = √a √(-b’) = √a (√b’i) = √(ab’)i = √(-ab’) = √(ab)
  예: √2 √(-3) = √2 √3i = √6i = √(-6) (즉, √(2 \times -3))
• Case 3: a < 0, b < 0 (둘 다 음수) ← 주의!
  Let a = -a’, b = -b’ (단, a’ > 0, b’ > 0).
  √a √b = √(-a’) √(-b’) = (√a’i) (√b’i) = √(a’b’) i² = √(a’b’) (-1) = -√(a’b’)
  그런데 ab = (-a’)(-b’) = a’b’이므로, 결국 √a √b = -√(ab) 가 됩니다.
  예: √(-2) √(-3) = (\radic;2i)(\radic;3i) = √6i² = -\radic;6.
  하지만 √((-2)(-3)) = √6 이므로, 앞에 –가 붙었죠!

결론: √a√b = -√(ab)가 되는 경우는 a \le 0 이고 b \le 0 일 때입니다. (0을 포함해도 성립, 교재에서는 a<0, b<0으로 주로 언급하고, 등호 포함은 Remark에서 다룸 )

개념정리 39-2: ^√a⁄_√b 계산법

두 실수 a, b (b \ne 0)에 대하여 ^√a⁄_√b를 계산할 때도, 대부분의 경우 √(^a⁄_b)와 결과가 같지만, 딱 한 가지 예외 상황이 있어요.

바로 a > 0 이고 b < 0 일 때 (즉, 분자는 양수, 분모는 음수일 때) 입니다. 이 경우에만 ^√a⁄_√b = -√(^a⁄_b) 가 됩니다.

이것도 i를 사용해서 확인해 볼까요? (단, a’ > 0, b’ > 0이라고 합시다.)

• Case 1: a > 0, b > 0 (분자 양수, 분모 양수)
  ^√a⁄_√b = √(^a⁄_b) (기존 규칙)
  예: ^√2⁄_√3 = √(²⁄₃)
• Case 2: a > 0, b < 0 (분자 양수, 분모 음수) ← 주의!
  Let b = -b’ (단, b’ > 0).
  ^√a⁄_√b = ^√a⁄_√(-b’) = ^√a⁄_(√b’i)
  분모를 실수화하기 위해 분자, 분모에 i를 곱하면 (또는 -i를 곱해도 됨):
  = ^{(√a \cdot i)}⁄_{(√b’i \cdot i)} = ^(√ai)⁄_(√b’i²) = ^(√ai)⁄_{(-\radic;b’)} = –^√a⁄_√b’ i = -√(^a⁄_b’)i
  그런데 √(^a⁄_b) = √(^a⁄_-b’) = √(-(^a⁄_b’)) = √(^a⁄_b’)i 이므로, 결국 ^√a⁄_√b = -√(^a⁄_b) 가 됩니다.
  예: ^√2⁄_√(-3) = ^√2⁄_(√3i) = ^(√2i)⁄_(√3i²) = ^(√2i)⁄_(-\radic;3) = -√(²⁄₃)i.
  그리고 √(²⁄_-3) = √(-(²⁄₃)) = √(²⁄₃)i 이므로, 앞에 –가 붙었죠!
• Case 3: a < 0, b > 0 (분자 음수, 분모 양수)
  Let a = -a’ (단, a’ > 0).
  ^√a⁄_√b = ^√(-a’)⁄_√b = ^(√a’i)⁄_√b = √(^a’⁄_b)i = √(-(^a’⁄_b)) = √(^-a’⁄_b) = √(^a⁄_b)
  예: ^√(-2)⁄_√3 = ^(√2i)⁄_√3 = √(²⁄₃)i = √(-²⁄₃) (즉, √(^-2⁄₃))
• Case 4: a < 0, b < 0 (분자 음수, 분모 음수)
  Let a = -a’, b = -b’ (단, a’ > 0, b’ > 0).
  ^√a⁄_√b = ^√(-a’)⁄_√(-b’) = ^(√a’i)⁄_(√b’i) = ^√a’⁄_√b’ = √(^a’⁄_b’)
  그리고 √(^a⁄_b) = √(^-a’⁄_-b’) = √(^a’⁄_b’) 이므로 결과가 같아요.
  예: ^√(-2)⁄_√(-3) = ^(√2i)⁄_(√3i) = ^√2⁄_√3 = √(²⁄₃) (즉, √(^-2⁄_-3))

결론: ^√a⁄_√b = -√(^a⁄_b)가 되는 경우는 a \ge 0 이고 b < 0 일 때입니다. (0을 포함해도 성립, 교재에서는 a>0, b<0으로 주로 언급하고, 등호 포함은 Remark에서 다룸 )