038 음수의 제곱근: i를 사용하여 표현하기! ☁️
안녕하세요, 수의 세계를 확장하는 탐험가 친구들! 👋 우리가 실수 범위에서 제곱근을 배울 때, “제곱해서 음수가 되는 실수는 없다”고 배웠어요. 그래서 루트(√) 안에는 항상 0 이상의 수만 들어갔었죠. 하지만 허수단위 i (제곱해서 -1이 되는 수)를 배우면서 이제 우리는 수의 범위를 복소수까지 확장했어요! 이로써 음수의 제곱근도 표현하고 계산할 수 있게 되었답니다. 오늘은 바로 이 음수의 제곱근을 어떻게 i를 사용해서 나타내는지 알아볼 거예요. 생각보다 간단하니 함께 살펴볼까요? 😊
📝 핵심만정리: 음수의 제곱근, 이렇게 표현해요!
임의의 양수 a에 대하여, 음수 -a의 제곱근은 다음과 같이 허수단위 i를 사용하여 나타낼 수 있어요.
- √(-a) = √a \cdot i
- -a의 제곱근은 ±√a \cdot i (즉, √ai 와 -\radic;ai 두 개)
예를 들어, √(-3) = √3i 이고, -3의 제곱근은 ±√3i 입니다.
이 정의 덕분에, 이제 어떤 실수 A에 대해서도 그 제곱근은 항상 ±√A 라고 말할 수 있게 돼요 (단, A가 음수일 경우 √A는 i를 포함한 표현이 됩니다).
🤔 음수의 제곱근이란 무엇일까요?
개념정리 38-1: 제곱해서 음수가 되는 수 찾기!
우리가 중학교에서 “제곱근”을 처음 배울 때, “제곱해서 a가 되는 수”를 a의 제곱근이라고 했어요. 그리고 a가 양수일 때, a의 제곱근은 ±√a 로 두 개가 있었죠.
이제 수의 범위를 복소수까지 확장했으므로, 음수에 대해서도 제곱근을 생각할 수 있게 되었어요. 즉, “제곱해서 음수 -a (단, a > 0)가 되는 수“를 찾는 것이죠.
허수단위 i는 i2 = -1이라는 성질을 가지고 있었죠? 이 성질을 이용하면 음수의 제곱근을 찾을 수 있답니다.
예를 들어, 제곱해서 -3이 되는 수를 찾아볼까요?
- (√3i)2 = (√3)2 × i2 = 3 × (-1) = -3
- (-\radic;3i)2 = (-\radic;3)2 × i2 = 3 × (-1) = -3
따라서 -3의 제곱근은 √3i 와 -\radic;3i, 이렇게 두 개가 됩니다!
💡 음수의 제곱근 표현법: i를 꺼내주세요!
개념정리 38-2: √(-a) = √a \cdot i
일반적으로 양수 a에 대하여, √(-a)는 √a \cdot i 로 나타내기로 약속해요. 루트 안의 마이너스 부호를 i로 바꾸어 루트 밖으로 꺼낸다고 생각하면 쉬워요!
그리고 음수 -a의 제곱근은 두 개가 있으므로, ±√(-a) = ±√a \cdot i 가 됩니다.
예시:
- √(-5) = √5 \cdot i = √5i
- √(-9) = √9 \cdot i = 3i
- -\radic;(-4) = -(\radic;4 \cdot i) = -(2i) = -2i
이 정의 덕분에, 이제 어떤 실수 A (양수, 0, 음수 모두 포함)에 대해서도 “A의 제곱근은 ±√A이다”라고 일관되게 말할 수 있게 되었어요. 만약 A가 음수라면 √A는 위에서 배운 대로 i를 사용해서 표현하면 되니까요!
루트 안의 마이너스 처리! ⚠️
음수의 제곱근을 계산할 때는 항상 루트 안의 마이너스를 먼저 i로 바꾸어 꺼낸 후에 계산하는 습관을 들이는 것이 좋아요. 예를 들어 √(-2) × √(-3)을 계산할 때, √((-2) \times (-3)) = √6으로 바로 계산하면 틀려요!
올바른 계산은 √(-2) × √(-3) = (\radic;2i) × (\radic;3i) = √6 i2 = √6(-1) = -\radic;6 입니다. (이 내용은 다음 “039 음수의 제곱근의 성질”에서 더 자세히 다룰 거예요!)
🧐 개념확인 문제: 음수의 제곱근 표현하고 구하기!
이제 배운 내용을 바탕으로 음수의 제곱근을 i를 사용하여 나타내고, 특정 음수의 제곱근을 직접 구해봅시다!
문제 1: 다음 수를 허수단위 i를 사용하여 나타내시오. (PDF 문제 활용)
- √(-3)
- √(-16) (숫자 변경)
- -\radic;(-5)
- -\radic;(-8)
정답 및 해설 (문제 1):
- √(-3) = √3i
- √(-16) = √16 \cdot i = 4i
- -\radic;(-5) = -(\radic;5 \cdot i) = -\radic;5i
- -\radic;(-8) = -(\radic;8 \cdot i) = – (2√2 \cdot i) = -2√2i
문제 2: 다음 수의 제곱근을 구하시오. (PDF 문제 활용)
- -3
- -25 (숫자 변경)
- -12
정답 및 해설 (문제 2):
어떤 수 A의 제곱근은 ±√A입니다.
- -3의 제곱근: ±√(-3) = ±√3i
- -25의 제곱근: ±√(-25) = ±√25 \cdot i = ±5i
- -12의 제곱근: ±√(-12) = ±√12 \cdot i = ±2√3 \cdot i = ±2√3i
루트 안의 마이너스를 i로 바꾸어 루트 밖으로 꺼내는 연습을 충분히 하면 음수의 제곱근도 쉽게 다룰 수 있을 거예요! 😉
오늘은 허수단위 i를 이용하여 음수의 제곱근을 표현하고 구하는 방법을 배웠습니다. √(-a) = √a \cdot i 라는 간단한 규칙만 기억하면, 이제 우리는 어떤 실수의 제곱근도 복소수 범위에서 모두 나타낼 수 있게 되었어요! 이로써 수의 세계가 한층 더 넓어졌다는 것을 느낄 수 있었죠? 오늘도 새로운 개념을 익히느라 수고 많으셨습니다! 다음 시간에는 이렇게 구한 음수의 제곱근들이 어떤 성질을 가지고 있는지 더 자세히 알아보겠습니다. 기대해주세요! 💡