a, b, c, d가 실수일 때, 두 복소수 (a+bi)와 (c+di)의 곱셈은 다음과 같이 계산해요.

• 계산 방법:
  1. 허수단위 i를 문자처럼 생각하고 분배법칙을 이용하여 전개해요.
  2. 전개한 식에서 i²이 나오면 -1로 바꾸어 계산해요.
  3. 마지막으로 실수부분과 허수부분으로 정리하여 A+Bi 꼴로 나타내요.
  
  결과적으로 (a+bi)(c+di) = (ac – bd) + (ad + bc)i 가 됩니다. (하지만 이 공식을 직접 외우기보다는 계산 과정을 익히는 것이 더 중요해요!)
• 연산 법칙: 복소수의 곱셈에 대해서도 실수의 곱셈처럼 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 모두 성립해요.

개념정리 34-1: 분배법칙과 i² 처리!

복소수의 곱셈은 다항식의 곱셈과 매우 유사한 방식으로 진행돼요. 허수단위 i를 하나의 문자라고 생각하고, 우리가 잘 아는 분배법칙을 사용하여 각 항을 모두 곱해주면 된답니다. 그리고 가장 중요한 포인트! 계산 과정에서 i²이 나타나면 반드시 -1로 바꾸어주어야 해요. 이것만 기억하면 끝!

두 복소수 (a+bi)와 (c+di)의 곱은 다음과 같이 전개됩니다:

(a+bi)(c+di)

= a(c+di) + bi(c+di)     (분배법칙)

= ac + adi + bci + bdi²     (다시 분배법칙)

여기서 i² = -1이므로, bdi² = bd(-1) = -bd가 됩니다.

= ac + adi + bci – bd

이제 실수부분(ac, -bd)과 허수부분(adi, bci)으로 정리하면,

= (ac – bd) + (ad + bc)i

이 최종 공식을 외우는 것보다, 매번 분배법칙을 사용하고 i² = -1을 적용하는 과정을 연습하는 것이 실수를 줄이고 원리를 이해하는 데 더 도움이 된답니다.

개념정리 34-2: 덧셈처럼 곱셈도 자유롭게!

복소수의 덧셈에서 교환법칙과 결합법칙이 성립했던 것처럼, 복소수의 곱셈에서도 다음과 같은 중요한 연산 법칙들이 모두 성립해요!

세 복소수 z₁, z₂, z₃에 대하여,

• 교환법칙: z₁z₂ = z₂z₁
  (곱하는 순서를 바꾸어도 결과는 같아요.)
• 결합법칙: (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃)
  (어떤 두 복소수를 먼저 곱하든 결과는 같아요. 그래서 괄호 없이 z₁z₂z₃로 쓰기도 해요.)
• 분배법칙:
  z₁(z₂ + z₃) = z₁z₂ + z₁z₃
  (z₁ + z₂)z₃ = z₁z₃ + z₂z₃
  (덧셈에 대한 곱셈의 분배가 가능해요.)

이러한 연산 법칙들이 성립하기 때문에 복소수의 곱셈도 실수처럼 자유롭게 계산 순서를 바꾸거나 묶어서 계산할 수 있답니다.