복소수 z = a+bi (a, b는 실수)에 대하여,

• 켤레복소수란, 원래 복소수의 허수부분의 부호만 바꾼 복소수를 말해요.
• 기호: 복소수 z의 켤레복소수는 z (z 바)로 나타냅니다.
  즉, a+bi = a-bi 이고, a-bi = a+bi 입니다.
• 중요 성질:
  • 실수의 켤레복소수는 자기 자신이에요. (z가 실수 ⇔ z = z)
  • 순허수의 켤레복소수는 자기 자신에 마이너스 부호를 붙인 것과 같아요. (z가 순허수 ⇔ z = -z, 단 z ≠ 0)
  • 어떤 복소수와 그 켤레복소수의 합(z + z)과 곱(zz)은 항상 실수가 됩니다.

켤레복소수는 앞으로 복소수의 나눗셈이나 이차방정식의 근 등 다양한 곳에서 활용된답니다!

개념정리 32-1: 켤레복소수의 정의와 표현

복소수 z = a+bi (여기서 a는 실수부분, b는 허수부분)가 있을 때, 이 복소수의 허수부분(b)의 부호만 반대로 바꾼 복소수를 z의 켤레복소수라고 해요.

그리고 z의 켤레복소수는 다음과 같이 나타냅니다:

z 또는 a+bi

읽을 때는 ‘z 바‘ 또는 ‘a+bi 바‘라고 읽어요.

따라서, a+bi = a-bi 가 됩니다. 반대로 a-bi의 켤레복소수는 a-bi = a-(-b)i = a+bi 가 되겠죠? 이렇게 두 복소수는 서로에게 켤레복소수가 되는 짝꿍 관계랍니다!

개념정리 32-2: 알아두면 편리한 켤레복소수의 성질

복소수 z = a+bi (a, b는 실수)와 그 켤레복소수 z = a-bi는 다음과 같은 재미있고 유용한 성질들을 가지고 있어요.

• 1. 켤레의 켤레는 자기 자신!
  (z) = z
  (예: (2+3i) = 2-3i = 2+3i)
• 2. 복소수와 그 켤레복소수의 합은 항상 실수!
  z + z = (a+bi) + (a-bi) = 2a (실수)
• 3. 복소수와 그 켤레복소수의 곱은 항상 0 이상의 실수!
  zz = (a+bi)(a-bi) = a² – (bi)² = a² – b²i² = a² – b²(-1) = a² + b² (0 또는 양의 실수)
• 4. 복소수가 실수일 조건:
  z가 실수 ⇔ b=0 ⇔ z = z
  (실수는 켤레복소수를 취해도 자기 자신과 같아요.)
• 5. 복소수가 순허수일 조건:
  z가 순허수 ⇔ a=0 이고 b≠0 ⇔ z = –z (단, z ≠ 0)
  (순허수는 켤레복소수를 취하면 원래 수에 마이너스를 붙인 것과 같아요. 0은 제외!)

(두 복소수 z₁, z₂에 대한 사칙연산과 켤레복소수의 관계 등 더 많은 성질은 다음 포스팅에서 다룰 예정이에요! )