028 실수의 분류: 수직선을 채우는 다양한 수들! 🌳
안녕하세요, 수의 세계를 탐험하는 친구들! 👋 지난 시간에는 유리수와 무리수의 정의에 대해 배웠어요. 오늘은 이 수들이 모여 이루는 더 큰 수의 세계, 바로 실수의 전체적인 구조와 분류에 대해 자세히 알아볼 거예요. 마치 커다란 나무가 줄기에서 가지로, 가지에서 잎으로 뻗어나가듯 수의 체계도 아름다운 구조를 가지고 있답니다. 이 구조를 이해하면 각 수들이 수직선 위에서 어떤 역할을 하는지 명확히 알 수 있게 될 거예요! 🗺️
📝 핵심만정리: 실수의 가족 관계도!
실수는 우리가 수직선 위에 나타낼 수 있는 모든 수를 의미하며, 크게 유리수와 무리수로 나눌 수 있어요.
- 실수 (Real Numbers)
- 유리수 (Rational Numbers): 분수 a⁄b (a, b는 정수, b≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 수.
- 정수 (Integers)
- 양의 정수 (자연수): 1, 2, 3, …
- 0
- 음의 정수: -1, -2, -3, …
- 정수가 아닌 유리수
- 유한소수: 0.5, -0.71 등
- 순환소수: 0.˙3, 2.˙4˙5 등
- 정수 (Integers)
- 무리수 (Irrational Numbers): 분수로 나타낼 수 없는 수 (순환하지 않는 무한소수).
예: √2, π, sin 10°
- 유리수 (Rational Numbers): 분수 a⁄b (a, b는 정수, b≠0) 꼴로 나타낼 수 있는 수.
이 분류를 잘 기억해두면 수의 성질을 이해하는 데 큰 도움이 된답니다!
🌳 실수 체계도: 한눈에 보는 수의 분류
개념정리 28-1: 실수의 구성원들
우리가 사용하는 ‘실수’라는 큰 수의 집합은 다음과 같이 체계적으로 분류될 수 있어요. 각 단계별로 어떤 수들이 포함되는지 살펴보세요.
실수 ┳ 유리수 ┳ 정수 ┳ 양의 정수 (자연수): 1, 2, 3, ...
┃ ┃ ┣ 0
┃ ┃ ┗ 음의 정수: -1, -2, -3, ...
┃ ┗ 정수가 아닌 유리수 ┳ 유한소수: 0.5, -1.75, ...
┃ ┗ 순환소수: 0.666..., 1.2727..., ...
┗ 무리수 (순환하지 않는 무한소수): √2, √3, π, ...
이처럼 실수는 유리수와 무리수로 나뉘고, 유리수는 다시 정수와 정수가 아닌 유리수로 분류돼요. 정수는 우리가 잘 아는 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수로 이루어져 있죠. 정수가 아닌 유리수는 유한소수나 순환소수로 표현될 수 있고요. 그리고 이 모든 유리수와는 다르게 분수로 표현할 수 없는 수가 바로 무리수랍니다.
📍 수의 조밀성과 연속성: 수직선 이야기
개념정리 28-2: 수직선을 채우는 방법
수직선 위에 수들을 나타내는 것을 생각해 볼까요?
- 유리수의 조밀성: 서로 다른 두 유리수 사이에는 항상 또 다른 무수히 많은 유리수가 존재해요. 아무리 가까운 두 유리수를 잡아도 그 사이에는 빈틈없이 유리수가 빽빽하게 들어차 있는 것처럼 보이죠.
- 무리수의 조밀성: 무리수도 마찬가지로, 서로 다른 두 무리수 사이에는 항상 또 다른 무수히 많은 무리수가 존재해요.
하지만 놀랍게도, 유리수만으로는 수직선을 완전히 채울 수 없어요! 유리수 사이사이에는 무리수가 존재하기 때문이죠. 예를 들어, 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이인 √2는 무리수인데, 수직선 위에서 1과 2 사이에 분명히 존재해요.
결국, 수직선은 유리수와 무리수, 즉 모든 실수를 나타내는 점들로 완전히 빈틈없이 메워질 수 있어요. 이것을 실수의 연속성이라고 부릅니다.
생각해보기! 💡
수직선은 유리수만으로도, 무리수만으로도 완전히 채울 수 없어요. 반드시 두 종류의 수가 모두 있어야 수직선 위의 모든 점에 대응하는 수를 표현할 수 있답니다.
🧐 개념확인 문제: 수의 분류, 제대로 이해했나요?
이제 배운 내용을 바탕으로 주어진 설명이 옳은지 그른지 판단해 봅시다!
다음 중 옳지 않은 것을 고르시오. (PDF 문제 활용)
- 수직선 위에는 π를 나타내는 점이 있다.
- -2와 3 사이에는 4개의 정수가 있다. (예: -1, 0, 1, 2)
- 1⁄3과 1⁄2 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다.
- -\sqrt{5}와 \sqrt{2} 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다.
- 수직선은 무리수를 나타내는 점만으로 완전히 메울 수 있다.
정답 및 해설:
- π는 무리수이고, 모든 실수는 수직선 위에 나타낼 수 있으므로 옳다.
- -2와 3 사이의 정수는 -1, 0, 1, 2로 총 4개이다. 옳다. (문제에서는 5개라고 했으므로, 원본 문제 의도에 따라 “② -2와 4 사이에는 5개의 정수가 있다.”는 옳음)
(PDF의 “② -2와 4 사이에는 5개의 정수가 있다.” 문장에 맞춰 해설: -1, 0, 1, 2, 3으로 총 5개. 따라서 이 문장은 옳습니다.)
(사용자 제공 PDF 기반으로 다시 수정: -2와 4 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1, 2, 3으로 5개가 맞습니다. 따라서 해당 문장은 옳습니다.) - 유리수의 조밀성에 의해 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 존재하므로 옳다.
- 무리수의 조밀성에 의해 서로 다른 두 무리수(또는 유리수와 무리수) 사이에는 무수히 많은 무리수가 존재하므로 옳다.
- 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수를 나타내는 점으로 완전히 메울 수 있다. 무리수만으로는 완전히 메울 수 없다. 따라서 옳지 않다.
따라서 옳지 않은 것은 5번입니다.
수의 체계를 정확히 이해하는 것은 수학의 기본기를 다지는 데 매우 중요해요. 각 수의 특징과 포함 관계를 잘 기억해주세요! 😉
오늘은 실수의 체계적인 분류에 대해 자세히 알아보았습니다. 자연수에서 시작하여 정수, 유리수, 그리고 무리수까지 확장되어 실수의 세계를 이루는 과정을 살펴보았죠. 특히 수직선은 이 모든 실수들로 빈틈없이 채워진다는 ‘실수의 연속성’은 중요한 개념이니 꼭 기억해주세요. 오늘 배운 내용이 앞으로 더 깊이 있는 수학을 이해하는 데 튼튼한 발판이 되기를 바랍니다! 수고 많으셨어요! 다음 시간에는 새로운 수의 개념인 ‘복소수’에 대해 알아보겠습니다. 😮