복이차식이란, x⁴ + ax² + b (a, b는 상수)와 같이 차수가 짝수인 항과 상수항으로만 이루어진 다항식을 말해요.

복이차식을 인수분해하는 방법은 크게 두 가지가 있어요.

1. 방법 1: x² = X로 치환하기
   • x²을 X와 같은 다른 문자로 치환하여 X에 대한 이차식(X² + aX + b)으로 만들어요.
   • 이 이차식을 인수분해한 후, 다시 X 자리에 x²을 대입해서 정리해요.
   • (주의!) 대입 후 더 인수분해될 수 있는지 꼭 확인해야 해요!
2. 방법 2: (A² – B²) 꼴로 변형하기
   • 방법 1로 인수분해가 잘 안될 때 사용하는 강력한 방법이에요.
   • 주어진 복이차식의 이차항(ax²)을 적절히 더하거나 빼서 식 전체를 (완전제곱식) – (제곱꼴), 즉 (A² – B²) 형태로 만들어요.
   • 그 후 합차 공식 A² – B² = (A+B)(A-B)를 이용하여 인수분해해요.

문제의 형태를 보고 두 가지 방법 중 더 적절한 것을 선택하는 것이 중요해요!

개념정리 23-1: 짝수 차수들의 향연!

복이차식(複二次式, Biquadratic expression)이라는 이름에서 ‘복(複)’은 ‘겹친다’, ‘이차(二次)’는 ‘차수가 2인 식’을 의미해요. 즉, 이차식이 겹쳐있는 듯한 형태, 다시 말해 모든 항의 차수가 짝수이거나 상수항으로만 이루어진 다항식을 복이차식이라고 해요.

가장 일반적인 형태는 x⁴ + ax² + b 꼴이에요. (여기서 a, b는 상수)

예를 들어, x⁴ – 5x² + 4, x⁴ + 9, 3x⁴ + 2x² + 1 등이 모두 복이차식이랍니다. 홀수 차수의 항(x³, x 등)이 없다는 것이 특징이죠!

개념정리 23-2: 이차식으로 변신시켜 풀기!

복이차식 x⁴ + ax² + b를 만나면, 가장 먼저 시도해 볼 수 있는 방법은 x²을 새로운 문자 X로 치환하는 거예요.

그러면 x⁴ = (x²)² = X² 이므로, 원래 식은 X² + aX + b 라는 X에 대한 이차식으로 변신하게 됩니다. 이 이차식이 인수분해된다면, 인수분해한 후에 다시 X 자리에 x²을 대입하여 정리하면 돼요.

개념정리 23-3: 완전제곱식 만들고 합차 공식 적용!

만약 x² = X로 치환했는데 X에 대한 이차식이 인수분해되지 않는다면 어떻게 할까요? 이때는 두 번째 전략을 사용해야 해요! 바로 식을 (A² – B²) 꼴로 교묘하게 변형해서 합차 공식을 이용하는 방법이에요.

[변형 단계]

1. 주어진 복이차식의 x⁴항과 상수항을 이용해서 완전제곱식이 되도록 중간항(x²의 항)을 만들어요.
2. 원래 식과 같아지도록 적절한 x²항을 더하거나 빼서 식을 조정해요. 이때, 빼는 항이 (무언가의 제곱) 형태가 되도록 하는 것이 핵심이에요!
3. 그러면 전체 식이 (완전제곱식) – (제곱꼴), 즉 A² – B² 형태로 만들어집니다.
4. 합차 공식 (A+B)(A-B)를 이용하여 인수분해합니다.