020 인수분해 첫걸음: 다항식을 곱으로 나타내는 마법! 🧩
안녕하세요, 수학 구조를 파헤치는 탐험가 친구들! 👋 지금까지 우리는 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 펼치는 ‘식의 전개’에 대해 배웠어요. 오늘은 그 반대 과정, 즉 하나의 다항식을 여러 다항식의 곱으로 나타내는 인수분해에 대해 첫발을 내딛을 거예요! 인수분해는 마치 레고 블록으로 만들어진 완성품을 다시 기본 블록들로 분해하는 것과 비슷하답니다. 이 능력은 앞으로 복잡한 방정식을 풀거나 함수의 성질을 파악하는 데 아주 중요한 역할을 해요. 그럼, 인수분해의 세계로 함께 떠나볼까요? 🛠️
📝 핵심만정리: 인수분해, 이것만 기억하세요!
- 인수분해: 하나의 다항식을 두 개 이상의 다항식(또는 단항식)의 곱의 꼴로 나타내는 것.
- 인수: 인수분해했을 때 곱을 이루는 각각의 다항식(또는 단항식).
(예: x2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)에서 (x+1)과 (x+2)는 x2+3x+2의 인수예요.) - 전개와의 관계: 인수분해는 전개의 역 과정이에요.
x2+3x+2 ⇌ (x+1)(x+2) (왼쪽으로 가면 인수분해, 오른쪽으로 가면 전개!) - 인수분해의 기본: 가장 먼저 확인할 것은 각 항에 공통인수가 있는지 살펴보고, 있다면 공통인수로 묶어내는 것이에요 (분배법칙의 역이용).
예: ma + mb – mc = m(a + b – c)
인수분해는 식을 더 간단한 부분들로 나누어 분석할 수 있게 해주는 매우 중요한 기술이랍니다!
🤔 인수분해란 무엇일까요?
개념정리 20-1: 다항식을 곱의 형태로!
하나의 다항식이 주어졌을 때, 이 다항식을 두 개 이상의 다항식(또는 단항식과 다항식)의 곱셈 형태로만 나타내는 과정을 인수분해한다고 말해요. 그리고 이렇게 인수분해했을 때 곱해진 각각의 식들을 원래 다항식의 인수라고 부릅니다.
예를 들어, 다항식 x2 + 3x + 2는 (x+1)과 (x+2)라는 두 일차식의 곱으로 나타낼 수 있어요. 즉,
x2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)
이 과정이 바로 인수분해이고, 이때 (x+1)과 (x+2)는 다항식 x2 + 3x + 2의 인수가 되는 것이죠. 물론 1이나 x2+3x+2 자기 자신도 인수가 될 수 있지만, 보통 인수분해를 하라고 하면 더 이상 분해되지 않는 간단한 인수들의 곱으로 나타내는 것을 의미해요.
주의! 이런 건 인수분해가 아니에요! 🚫
예를 들어 x2 + 3x + 2 = x(x+3) + 2 와 같이 덧셈이나 뺄셈으로 연결된 항이 남아있다면, 이것은 곱의 형태로만 표현된 것이 아니므로 인수분해라고 하지 않아요. 반드시 전체 식이 몇몇 다항식들의 곱으로만 연결되어야 합니다!
🔄 인수분해와 전개: 서로 반대 방향!
개념정리 20-2: 전개의 역 과정으로서의 인수분해
우리는 이미 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 나타내는 ‘전개’를 배웠어요. 인수분해는 바로 이 전개의 정반대 과정이라고 생각하면 이해하기 쉬워요.
(x+1)(x+2) → 전개 ← x2 + 3x + 2
인수분해
즉, 곱셈 공식을 이용해서 전개했던 것처럼, 인수분해 공식을 이용하면 반대로 인수분해를 할 수 있게 되는 거죠. 인수분해가 중요한 이유는 복잡한 합의 꼴로 주어진 식을 더 간단한 곱의 꼴로 바꾸어 식의 구조를 파악하거나, 방정식의 해를 찾는 등 다양한 문제 해결에 활용되기 때문이에요.
🎁 공통인수로 묶기: 인수분해의 첫걸음!
개념정리 20-3: 모든 항의 공통된 부분을 찾아라!
인수분해를 할 때 가장 먼저 시도해야 하는 것은 바로 공통인수를 찾아 묶어내는 것이에요. 공통인수란, 다항식의 각 항에 공통으로 곱해져 있는 수나 문자를 말해요. 공통인수가 있다면 분배법칙을 거꾸로 적용해서 묶어낼 수 있답니다.
분배법칙: M(A + B) = MA + MB
공통인수로 묶기 (분배법칙의 역): MA + MB = M(A + B)
예시 1: 2x2 – 4x 인수분해하기
두 항 2x2과 -4x에 공통으로 들어있는 인수를 찾아봐요.
2x2 = 2 \cdot x \cdot x
-4x = -2 \cdot 2 \cdot x
공통인수는 2x네요! 이제 2x로 묶어내면:
2x2 – 4x = 2x(x) + 2x(-2) = 2x(x – 2)
예시 2: a2(x – y) + a(y – x) 인수분해하기 (PDF 변형)
이 식에서는 (x-y)와 (y-x)가 비슷해 보이죠? y-x = -(x-y) 이므로 공통인수를 만들 수 있어요!
a2(x – y) + a(y – x) = a2(x – y) – a(x – y)
이제 공통인수 (x-y)로 묶어내면:
= (x – y)(a2 – a)
여기서 멈추면 안 돼요! (a2-a)도 공통인수 a를 가지고 있으므로 더 인수분해할 수 있어요.
= (x – y)a(a – 1)
보통 문자를 알파벳 순으로, 단항식을 앞에 쓰므로 정리하면:
a(a – 1)(x – y)
🧐 개념확인 문제: 공통인수로 묶어볼까요?
이제 배운 내용을 바탕으로 공통인수를 찾아 묶는 연습을 해봅시다!
다음 식을 인수분해하시오. (PDF 문제 활용 및 변형)
- 3a2b – 6ab2
- (x – 1)y + (1 – x)z
- 1 – a + b – ab
정답 및 해설:
-
3a2b – 6ab2
두 항의 공통인수는 3ab입니다.
= 3ab(a – 2b)
-
(x – 1)y + (1 – x)z
1-x = -(x-1)이므로, 식을 (x – 1)y – (x – 1)z 로 바꿀 수 있어요.
공통인수 (x-1)로 묶으면:
= (x – 1)(y – z)
-
1 – a + b – ab
항이 4개일 때는 적절히 두 개씩 묶어 공통인수를 찾아볼 수 있어요.
앞의 두 항을 묶고, 뒤의 두 항을 b로 묶으면: (1 – a) + b(1 – a)
이제 공통인수 (1-a)가 보이죠?
= (1 – a)(1 + b)
(또는, 1+b-a-ab = (1+b)-a(1+b) = (1+b)(1-a) 와 같이 묶을 수도 있어요.)
공통인수로 묶는 것은 인수분해의 가장 기본이면서도 강력한 방법이랍니다. 어떤 복잡한 식이라도 공통인수가 보인다면 일단 묶어내고 생각하는 습관을 들이세요! 😉
오늘은 다항식을 여러 다항식의 곱으로 나타내는 ‘인수분해’의 첫걸음을 내디뎠습니다. 인수분해는 전개의 반대 과정이라는 것, 그리고 인수분해의 가장 기본은 공통인수를 찾아 묶는 것이라는 점을 배웠죠? 인수분해는 앞으로 배울 다양한 인수분해 공식들과 더 복잡한 식의 인수분해, 그리고 방정식 풀이 등에서 계속 사용될 중요한 개념이니 오늘 배운 내용을 잘 기억해주세요! 다음 시간에는 본격적으로 다양한 인수분해 공식들을 알아보겠습니다! 기대해도 좋아요! 🚀