019 조립제법의 확장: 나누는 식이 ax+b 꼴일 때의 꿀팁! 🧩
안녕하세요, 수학 마스터를 꿈꾸는 친구들! 👋 지난 시간에는 다항식을 (x – α) 꼴의 일차식으로 나눌 때 아주 유용한 조립제법에 대해 배웠어요. 그런데 만약 나누는 식이 2x – 1이나 3x + 2처럼 x의 계수가 1이 아닌 (ax + b) 꼴이라면 조립제법을 어떻게 활용할 수 있을까요? 오늘은 바로 이 조립제법의 확장된 사용법에 대해 알아볼 거예요. 약간의 변형만 거치면 (ax+b) 꼴의 일차식으로 나눌 때도 조립제법을 멋지게 사용할 수 있답니다! 함께 그 방법을 익혀볼까요? 🛠️
📝 핵심만정리: (ax+b) 꼴 나눗셈과 조립제법!
다항식 f(x)를 일차식 ax + b (a \neq 0)로 나눌 때, 조립제법을 다음과 같이 활용할 수 있어요.
- 먼저, 나누는 식 ax + b = 0을 만족하는 x의 값, 즉 x = –b⁄a를 구해요.
- 조립제법을 사용하여 f(x)를 (x + b⁄a) 또는 (x – (-b⁄a))로 나누었을 때의 몫 Q(x)와 나머지 R을 구해요.
- 이때, f(x)를 ax + b로 나누었을 때의 실제 몫은 조립제법으로 구한 몫 Q(x)를 a로 나눈 1⁄aQ(x)가 됩니다.
- 나머지 R은 조립제법으로 구한 나머지와 동일합니다.
즉, f(x) = (ax+b) \cdot \left(\frac{1}{a}Q(x)\right) + R 관계가 성립해요!
➗ (ax+b)로 나눌 때 조립제법 활용법
개념정리 19-1: 조립제법, 한 단계 더 나아가기!
조립제법은 기본적으로 x의 계수가 1인 일차식, 즉 (x – α) 꼴로 나눌 때 사용한다고 배웠어요. 하지만 나누는 식이 ax + b (a \neq 1, a \neq 0) 꼴일 때도 약간의 아이디어를 더하면 조립제법을 유용하게 쓸 수 있답니다.
[조립제법 확장 사용 단계]
- 나누는 값 찾기: ax + b = 0을 만드는 x의 값, 즉 x = –b⁄a를 찾습니다. 이 값을 조립제법의 왼쪽에 적습니다.
- 기본 조립제법 시행: 나누어지는 다항식의 계수들을 적고, –b⁄a를 사용하여 일반적인 조립제법을 수행하여 몫에 해당하는 계수들(Q(x)의 계수)과 나머지(R)를 구합니다.
- 몫 보정하기: 2단계에서 구한 몫 Q(x)의 모든 계수를 나누는 식의 x의 계수인 a로 나누어줍니다. 이것이 바로 ax+b로 나누었을 때의 실제 몫입니다. (즉, 실제 몫 = 1⁄a Q(x))
- 나머지는 그대로: 2단계에서 구한 나머지 R이 ax+b로 나누었을 때의 실제 나머지입니다. 나머지는 변하지 않아요!
예시: 다항식 P(x) = 2x3 – 5x2 + 0x – 1을 2x – 1로 나눈 몫과 나머지를 구해봅시다. (PDF 비교 예시)
1. 2x – 1 = 0 에서 x = 1⁄2 입니다. 이 값으로 조립제법을 시행합니다.
2. 조립제법 시행 (P(x)를 x – 1⁄2로 나눈다고 생각):
| 1⁄2 |
|
조립제법 결과, 몫에 해당하는 계수들은 2, -4, -2이고 나머지는 -2입니다.
즉, 2x3 – 5x2 – 1 = (x – 1⁄2)(2x2 – 4x – 2) – 2 입니다.
3. 몫 보정하기: 나누는 식 2x – 1에서 x의 계수는 2입니다. 따라서 위에서 구한 몫의 계수들을 2로 나누어줍니다.
실제 몫 = (2x2 – 4x – 2)⁄2 = x2 – 2x – 1
4. 나머지는 그대로: 실제 나머지는 -2입니다.
따라서, 2x3 – 5x2 – 1을 2x – 1로 나눈 몫은 x2 – 2x – 1이고, 나머지는 -2입니다.
🤔 왜 몫을 a로 나누어야 할까요? 그 이유는?
개념정리 19-2: 나눗셈 등식으로 이해하기
다항식 f(x)를 x + b⁄a (즉, x – (-b⁄a))로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R이라고 하면, 다항식 나눗셈에 대한 등식에 의해 다음과 같이 쓸 수 있어요.
f(x) = (x + b⁄a)Q(x) + R
우리가 실제로 나누고 싶은 식은 ax + b죠? ax + b = a(x + b⁄a) 와 같이 a로 묶어낼 수 있어요. 이 관계를 위 등식에 활용해 봅시다.
f(x) = 1⁄a \cdot a \cdot (x + b⁄a)Q(x) + R
= 1⁄a (ax + b) Q(x) + R
= (ax + b) \left(1⁄a Q(x)\right) + R
자, 이 마지막 식을 보세요! f(x)를 (ax + b)로 나누었을 때,
- 몫은 1⁄a Q(x) 가 되고,
- 나머지는 R 그대로인 것을 알 수 있죠?
이것이 바로 조립제법을 x = –b⁄a로 시행한 후, 얻어진 몫을 다시 a로 나누어주어야 하는 이유랍니다! 나머지는 변하지 않는다는 점도 중요해요.
🧐 개념확인 문제: 확장된 조립제법 적용하기!
이제 x의 계수가 1이 아닌 일차식으로 나눌 때 조립제법을 활용하는 연습을 해봅시다!
조립제법을 이용하여 다항식 P(x) = x3 + 3x2 + 2x – 1을 2x + 4로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하시오. (PDF 문제 변형)
정답 및 해설:
1. 나누는 식 2x + 4 = 0 에서 2x = -4, 즉 x = -2 입니다. 이 값으로 조립제법을 시행합니다. (원래 PDF에서는 2x+6을 2(x+3)으로 보고 x=-3으로 했지만, 여기서는 2x+4로 변경하여 x=-2를 사용합니다.)
2. 조립제법 시행 (P(x)를 x – (-2), 즉 x+2로 나눈다고 생각):
| -2 |
|
조립제법 결과, x+2로 나누었을 때의 몫 Q(x) = x2 + x + 0 = x2 + x 이고, 나머지 R = -1 입니다.
즉, x3 + 3x2 + 2x – 1 = (x+2)(x2 + x) – 1
3. 몫 보정하기: 우리가 실제로 나누려던 식은 2x + 4이고, 이것은 2(x+2)와 같아요. x의 계수는 2입니다.
따라서 2x+4로 나누었을 때의 실제 몫은 Q(x)를 2로 나눈 값이 됩니다:
실제 몫 = (x2 + x)⁄2 = 1⁄2x2 + 1⁄2x
4. 나머지는 그대로: 실제 나머지는 -1 입니다.
따라서, x3 + 3x2 + 2x – 1을 2x + 4로 나눈 몫은 1⁄2x2 + 1⁄2x이고, 나머지는 -1입니다.
검산: (2x+4)(1⁄2x2 + 1⁄2x) – 1 = 2(x+2) \cdot 1⁄2(x2 + x) – 1 = (x+2)(x2+x) – 1, 이는 조립제법 결과와 일치합니다.
조립제법을 ax+b 꼴의 식으로 나눌 때 활용하는 방법을 익히면, 더욱 다양한 다항식 나눗셈 문제를 효율적으로 해결할 수 있게 될 거예요! 😉
오늘은 조립제법을 x의 계수가 1이 아닌 일차식 (ax+b)로 나눌 때 어떻게 활용하는지 그 확장된 방법을 배웠습니다. 핵심은 x = -b/a로 조립제법을 시행한 후, 얻어진 몫을 다시 a로 나누어주는 것이었죠! 나머지는 그대로라는 점도 잊지 마세요. 이 방법을 사용하면 조립제법의 편리함을 더욱 넓게 활용할 수 있습니다. 오늘도 수학 실력 레벨 업! 수고 많으셨어요! 다음 포스팅에서는 ‘인수분해’의 세계로 본격적으로 들어가 보겠습니다. 기대해주세요! 🥳