010 다항식을 단항식으로 나누기: 분수꼴과 역수의 곱셈 마스터! ➗
안녕하세요, 수학 정복자 친구들! 👋 다항식의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 그리고 강력한 지수법칙까지 차근차근 익혀왔어요. 이제 다항식 연산의 또 다른 중요한 부분인 나눗셈에 대해 배울 차례예요. 오늘은 그 첫걸음으로, 다항식을 비교적 간단한 단항식으로 나누는 방법에 대해 알아볼 거예요. 두 가지 핵심 방법만 알면 어렵지 않으니, 함께 시작해 볼까요? 💪
📝 핵심만정리: (다항식) ÷ (단항식) 계산법!
다항식을 단항식으로 나누는 계산은 다음 두 가지 방법으로 할 수 있어요. [cite: 1]
- 분수 꼴로 바꾸어 계산하기: 나눗셈을 분수의 형태로 바꾼 후, 분자의 각 항을 분모로 나누어 계산해요. 즉, (A+B) ÷ C = (A+B)⁄C = A⁄C + B⁄C 와 같이 각 항별로 나누어 계산합니다. [cite: 1]
- 나누는 식의 역수를 곱하여 계산하기: 나눗셈을 곱셈으로 바꾸는 원리를 이용해요. 즉, (A+B) ÷ C = (A+B) × 1⁄C 로 바꾼 후, 분배법칙을 이용하여 A × 1⁄C + B × 1⁄C 와 같이 계산합니다. [cite: 1]
두 방법 모두 결국 같은 결과를 얻게 되지만, 문제의 형태에 따라 더 편리한 방법을 선택할 수 있답니다. 각 항을 계산할 때는 지수법칙을 정확히 적용하는 것이 중요해요!
🔍 (다항식) ÷ (단항식) 계산 방법 자세히 보기
개념정리 10-1: 두 가지 계산 전략!
방법 1: 분수 꼴로 바꾸어 계산하기 📏
이 방법은 나눗셈 기호(÷)를 분수선으로 바꾸고, 분자의 각 항을 분모인 단항식으로 각각 나누어 주는 방식이에요. 마치 여러 개의 사탕을 한 명에게 나누어 줄 때, 사탕 봉지 전체를 주는 대신 각 종류의 사탕을 따로따로 주는 것과 비슷하죠.
기본 원리: (A + B + …)⁄C = A⁄C + B⁄C + …
예시: (8a3b – 6ab2) ÷ 2ab 를 계산해 봅시다. [cite: 1]
1. 분수 꼴로 바꿉니다: (8a3b – 6ab2)⁄2ab
2. 분자의 각 항을 분모로 나누어 분리합니다:
= (8a3b)⁄2ab – (6ab2)⁄2ab
3. 각 항을 약분하고 지수법칙을 적용하여 간단히 합니다:
= (8⁄2)a3-1b1-1 – (6⁄2)a1-1b2-1
= 4a2b0 – 3a0b1 (단, a0=1, b0=1)
= 4a2 – 3b
방법 2: 나누는 식의 역수를 곱하여 계산하기 🔄
이 방법은 나눗셈을 곱셈으로 바꾸는 초등학교 때 배운 원리를 활용해요. 나누는 단항식의 역수(분자와 분모를 바꾼 수 또는 식)를 곱한 후, 분배법칙을 사용하여 계산하는 방식이죠.
기본 원리: (A + B + …) ÷ C = (A + B + …) × 1⁄C = A × 1⁄C + B × 1⁄C + …
예시: (9p2q3 + 6p3q) ÷ 3pq 를 계산해 봅시다. [cite: 1]
1. 나누는 식 3pq의 역수는 1⁄3pq 입니다.
2. 나눗셈을 역수의 곱셈으로 바꿉니다:
(9p2q3 + 6p3q) × 1⁄3pq
3. 분배법칙을 사용하여 각 항에 역수를 곱합니다:
= (9p2q3 × 1⁄3pq) + (6p3q × 1⁄3pq)
4. 각 항을 계산하고 간단히 합니다 (약분 및 지수법칙 적용):
= (9p2q3)⁄3pq + (6p3q)⁄3pq
= 3p2-1q3-1 + 2p3-1q1-1
= 3p1q2 + 2p2q0
= 3pq2 + 2p2
어떤 방법을 선택할까요? 🤔
두 방법 모두 정확한 계산으로 이어지지만, 나누는 단항식이 분수 형태일 경우에는 역수를 곱하는 방법이 조금 더 편리할 수 있어요. 예를 들어 A ÷ (B⁄C)는 A × C⁄B로 바꿔 계산하는 것이 더 쉽죠. 평소에는 자신이 더 편하고 실수 없이 계산할 수 있는 방법을 선택하면 됩니다!
🧐 개념확인 문제: 직접 나눠볼까요?
이제 배운 두 가지 방법을 활용해서 다항식을 단항식으로 나누는 계산을 연습해 봅시다!
다음 식을 계산하시오. (PDF 문제 변형)
- (15a4b3 – 10a3b2) ÷ (-5a2b)
- (8x2y – 4xy2 + 6y) ÷ 2⁄3y
정답 및 해설:
-
방법 1 (분수 꼴):
(15a4b3 – 10a3b2)⁄(-5a2b) = (15a4b3)⁄(-5a2b) – (10a3b2)⁄(-5a2b)
= -3a4-2b3-1 – (-2a3-2b2-1)
= -3a2b2 + 2ab
= -3a2b2 + 2ab
-
방법 2 (역수의 곱셈): 나누는 식 2⁄3y의 역수는 3⁄2y입니다.
(8x2y – 4xy2 + 6y) × 3⁄2y
= (8x2y × 3⁄2y) + (-4xy2 × 3⁄2y) + (6y × 3⁄2y)
= ((8 × 3)⁄2)x2(y⁄y) + ((-4 × 3)⁄2)x(y2⁄y) + ((6 × 3)⁄2)(y⁄y)
= 12x2 – 6xy + 9
= 12x2 – 6xy + 9
다항식을 단항식으로 나눌 때는 각 항별로 빠짐없이 계산하고, 특히 부호와 지수 계산에 주의해야 해요. 두 가지 방법 모두 연습해서 익숙해지면 어떤 문제가 나와도 자신 있게 풀 수 있을 거예요! 👍
오늘은 다항식을 단항식으로 나누는 두 가지 중요한 방법을 배웠습니다. 분수 꼴로 바꾸어 각 항을 나누거나, 나누는 단항식의 역수를 곱한 후 분배법칙을 사용하는 것이었죠? 어떤 방법을 사용하든 지수법칙과 부호 처리를 정확하게 하는 것이 핵심이랍니다. 꾸준한 연습으로 다항식 나눗셈의 달인이 되어보세요! 다음 시간에는 더 나아가 다항식을 다항식으로 나누는 방법에 대해 알아보겠습니다. 기대해주세요! 😄