009 곱셈 공식의 변형: 식의 값을 구하는 또 다른 열쇠! 🔑
안녕하세요, 수학 퍼즐을 푸는 친구들! 👋 지난 시간에는 다양한 곱셈 공식들을 배웠죠? 이 곱셈 공식들은 단순히 식을 전개하는 데만 쓰이는 것이 아니라, 식을 살짝 변형해서 새로운 식의 값을 알아내는 데에도 아주 유용하게 사용된답니다. 이것이 바로 곱셈 공식의 변형이에요! 마치 열쇠 하나를 조금 다듬어서 다른 자물쇠도 열 수 있게 만드는 것과 같죠. 오늘은 이 변형 공식들을 통해 어떻게 식의 값을 쉽게 구할 수 있는지 함께 탐험해 봐요! 🕵️♂️
📝 핵심만정리: 자주 쓰이는 곱셈 공식의 변형!
기본 곱셈 공식을 이리저리 옮기고 조합하면, 특정 값들(주로 합, 차, 곱)을 알 때 다른 식의 값을 구할 수 있는 유용한 변형 공식들을 만들 수 있어요. 다음은 꼭 기억해야 할 주요 변형 공식들이에요.
- 1. 제곱의 합 (1): a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab [cite: 79]
- 2. 제곱의 합 (2): a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab [cite: 79]
- 3. 차의 제곱과 합의 제곱 관계: (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab [cite: 79]
(반대로 (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab 도 가능해요!) - 4. 세제곱의 합: a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) [cite: 79]
- 5. 세제곱의 차: a3 – b3 = (a – b)3 + 3ab(a – b) [cite: 79]
- 6. 세 제곱의 합: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) [cite: 79]
- 7. 조금 특별한 변형 (1): a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 1⁄2{(a-b)2 + (b-c)2 + (c-a)2} [cite: 79]
- 8. 조금 특별한 변형 (2) (참고용): a3 + b3 + c3 – 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
➔ 따라서 a3 + b3 + c3 = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) + 3abc [cite: 79]
이 공식들은 문제에서 a+b, ab 등의 값이 주어졌을 때 a2+b2나 a3+b3 같은 식의 값을 구하는 데 아주 유용하게 쓰인답니다.
🤔 곱셈 공식의 변형이란 무엇일까요?
개념정리 9-1: 변형 공식의 의미와 필요성
우리가 배운 곱셈 공식, 예를 들어 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 은 좌변을 전개하면 우변이 된다는 것을 보여주죠. 곱셈 공식의 변형은 이 등식의 항들을 이리저리 옮겨서(이항하여) 새로운 형태로 만드는 것을 말해요.
예를 들어, (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 에서 2ab를 좌변으로 옮기면, (a+b)2 – 2ab = a2 + b2 이 되죠. 이것이 바로 변형 공식 a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab 이랍니다!
이렇게 공식을 변형하는 이유는, 문제에서 직접적으로 주어지지 않은 식의 값을 주어진 정보(주로 두 수의 합, 차, 곱)들을 활용하여 간접적으로 구하기 위해서예요. 즉, 문제 해결의 실마리를 찾는 데 큰 도움을 준답니다.
🛠️ 자주 사용되는 곱셈 공식의 변형들
이제 앞에서 요약된 주요 변형 공식들이 어떻게 유도되었는지, 그리고 어떻게 활용되는지 좀 더 자세히 살펴볼게요.
1. a2 + b2 구하기
기본 공식 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 에서 2ab를 이항하면:
a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab
마찬가지로, (a-b)2 = a2 – 2ab + b2 에서 -2ab를 이항하면:
a2 + b2 = (a-b)2 + 2ab
예) a+b = 5, ab = 3 일 때, a2+b2의 값은?
a2+b2 = (a+b)2 – 2ab = 52 – 2(3) = 25 – 6 = 19
2. (a-b)2 와 (a+b)2 사이의 관계
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
= (a2 + b2) – 2ab
여기서 a2+b2 = (a+b)2 – 2ab 를 대입하면,
= ((a+b)2 – 2ab) – 2ab
(a-b)2 = (a+b)2 – 4ab
예) a+b = 7, ab = 10 일 때, (a-b)2의 값은?
(a-b)2 = (a+b)2 – 4ab = 72 – 4(10) = 49 – 40 = 9
(따라서 a-b는 3 또는 -3이 될 수 있겠죠?)
3. a3 + b3 와 a3 – b3 구하기
기본 공식 (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a+b) 에서 3ab(a+b)를 이항하면:
a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b)
마찬가지로, (a-b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = a3 – b3 – 3ab(a-b) 에서 -3ab(a-b)를 이항하면:
a3 – b3 = (a-b)3 + 3ab(a-b)
예) x+y = 4, xy = 2 일 때, x3+y3의 값은?
x3+y3 = (x+y)3 – 3xy(x+y) = 43 – 3(2)(4) = 64 – 24 = 40
4. a2 + b2 + c2 구하기
기본 공식 (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca = a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 에서 2(ab+bc+ca)를 이항하면:
a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 – 2(ab+bc+ca)
🤝 대칭식과 곱셈 공식의 변형 활용
개념정리 9-2: 대칭식이란?
대칭식이란, 식에 포함된 두 문자(예: a와 b)를 서로 바꾸어 대입해도 원래 식과 변하지 않는 식을 말해요. [cite: 79]
예를 들어, a2+b2에서 a와 b를 바꾸면 b2+a2이 되어 원래 식과 같죠? 그래서 a2+b2는 대칭식이에요. a+b, ab, a3+b3 등도 모두 대칭식이랍니다.
이러한 대칭식의 값은 대부분 두 문자의 기본 대칭식이라고 불리는 a+b (합)와 ab (곱)의 값을 알면 구할 수 있어요. [cite: 80] 이때 바로 곱셈 공식의 변형들이 아주 유용하게 사용된답니다!
참고: 세 문자 a, b, c에 대한 대칭식은 기본 대칭식인 a+b+c, ab+bc+ca, abc를 이용하여 값을 구할 수 있는 경우가 많아요.
🧐 개념확인 문제: 변형 공식으로 값 구하기!
이제 배운 곱셈 공식의 변형을 활용해서 식의 값을 구해봅시다!
다음 식의 값을 구하시오.
- a+b = 5, ab = 4 일 때, a2 + b2의 값은? (숫자 변경)
- x – y = 3, xy = 2 일 때, x3 – y3의 값은? (숫자 변경)
- a+b+c = 6, ab+bc+ca = 10 일 때, a2+b2+c2의 값은? (숫자 변경)
정답 및 해설:
-
a2 + b2 = (a+b)2 – 2ab 를 이용해요.
= 52 – 2(4) = 25 – 8 = 17
-
x3 – y3 = (x-y)3 + 3xy(x-y) 를 이용해요.
= 33 + 3(2)(3) = 27 + 18 = 45
-
a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 – 2(ab+bc+ca) 를 이용해요.
= 62 – 2(10) = 36 – 20 = 16
곱셈 공식의 변형을 잘 활용하면 복잡해 보이는 식의 값도 간단하게 구할 수 있답니다. 어떤 공식을 적용해야 할지 떠올리는 연습을 꾸준히 해보세요! 💡
오늘은 곱셈 공식을 변형하여 식의 값을 구하는 다양한 방법들을 배웠습니다. 특히 두 수의 합, 차, 곱이 주어졌을 때 다른 식의 값을 구하는 문제 해결에 아주 유용하다는 것을 알게 되었죠? 곱셈 공식과 그 변형은 서로 밀접하게 연결되어 있으니 함께 익혀두면 수학 실력 향상에 큰 도움이 될 거예요. 오늘도 수고 많으셨습니다! 다음 시간에 또 만나요! 😄