008 곱셈 공식 마스터하기: 다항식 전개의 지름길!

by
008 곱셈 공식 마스터하기: 다항식 전개의 지름길!

008 곱셈 공식 마스터하기: 다항식 전개의 지름길! 🚀

✨ 이 포스팅은 기기를 가로로 돌려서 보시면 더욱 편안하게 읽을 수 있어요! ✨
핵심정리 곱셈 공식이란? 기본 곱셈 공식 조금 더 복잡한 공식 개념확인

안녕하세요, 수학 탐험가 친구들! 👋 이전 시간에 배운 식의 전개, 특히 분배법칙을 이용해 다항식을 곱하는 방법을 익혔죠? 그런데 어떤 형태의 다항식 곱셈은 너무 자주 나와서, 매번 전개하기보다는 그 결과를 공식처럼 외워두면 훨씬 빠르고 정확하게 계산할 수 있답니다. 이것이 바로 곱셈 공식이에요! 곱셈 공식은 다항식 계산의 시간을 단축시켜주는 강력한 도구이자, 앞으로 배울 인수분해의 기초가 되기도 해요. 오늘은 이 중요한 곱셈 공식들을 함께 정복해 봐요! 🛠️

📝 핵심만정리: 자주 쓰는 곱셈 공식 모음!

다항식의 곱셈 중에서 자주 사용되는 기본적인 형태들을 공식으로 정리한 것이 곱셈 공식이에요. [cite: 64] 곱셈 공식을 익혀두면 복잡한 전개 과정을 생략하고 빠르고 정확하게 계산할 수 있답니다. [cite: 65] 다음은 꼭 알아둬야 할 주요 곱셈 공식들이에요!

  • 1. 완전제곱식 (합): (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 [cite: 66]
  • 2. 완전제곱식 (차): (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 [cite: 66]
  • 3. 합차 공식: (a + b)(a – b) = a2 – b2 [cite: 66]
  • 4. x에 대한 일차식의 곱 (1): (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab [cite: 66]
  • 5. x에 대한 일차식의 곱 (2): (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd [cite: 66]
  • 6. 세 항의 완전제곱식: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca [cite: 66]
  • 7. 세제곱 공식 (합/차):
    • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 [cite: 66]
    • (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 [cite: 66]
  • 8. 세제곱의 합/차 인수분해 역이용:
    • (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 [cite: 66]
    • (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 [cite: 66]

(이 외에도 몇 가지 공식이 더 있지만, 우선 이 공식들부터 확실히 익혀봅시다! PDF 자료의 ⑤, ⑨, ⑩번 공식도 참고하세요.)

🤔 곱셈 공식이란 무엇이고 왜 필요할까요?

개념정리 8-1: 곱셈 공식의 의미와 유용성

곱셈 공식이란, 다항식의 곱셈 중에서 특별히 자주 등장하고 일정한 패턴을 가지는 식들의 전개 결과를 공식으로 만들어 놓은 것이에요. [cite: 64] 마치 구구단처럼, 곱셈 공식을 알고 있으면 복잡한 전개 과정을 일일이 거치지 않고도 결과를 바로 알 수 있어서 계산 시간을 크게 줄여주고 정확도도 높일 수 있답니다. [cite: 65]

예를 들어 (x+3)2을 전개하려면 (x+3)(x+3)으로 바꾼 뒤 분배법칙을 여러 번 사용해야 하지만, 완전제곱 공식을 알면 x2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 32 = x2 + 6x + 9라고 바로 계산할 수 있죠!

또한, 곱셈 공식은 앞으로 배울 인수분해(다항식을 여러 다항식의 곱으로 나타내는 것)의 기초가 되기 때문에 반드시 익혀두어야 하는 중요한 내용이에요.

🛠️ 기본 곱셈 공식 익히기 (중학교 복습 포함)

다음은 중학교 과정에서도 배웠고, 고등학교에서도 계속 사용되는 기본적인 곱셈 공식들이에요. 각 공식이 어떻게 유도되는지 분배법칙을 이용해 직접 전개해 보면 이해하는 데 도움이 된답니다! [cite: 67]

1. 완전제곱식 (합/차)

(1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 [cite: 66]

(2) (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 [cite: 66]

예) (x + 5)2 = x2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 52 = x2 + 10x + 25

예) (2y – 3)2 = (2y)2 – 2 \cdot (2y) \cdot 3 + 32 = 4y2 – 12y + 9

(a-b)2 공식은 (a+b)2 공식에서 b 대신 -b를 대입한 것으로 생각해도 쉽게 기억할 수 있어요. [cite: 72]

2. 합차 공식

(a + b)(a – b) = a2 – b2 [cite: 66]

(앞 항의 제곱 빼기 뒤 항의 제곱! “합차는 제곱차”로 기억하면 좋아요. [cite: 73])

예) (2x + 3y)(2x – 3y) = (2x)2 – (3y)2 = 4x2 – 9y2

3. x에 대한 일차식의 곱

(1) (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab [cite: 66]

(x2 더하기 x항의 계수는 상수항의 합, 상수항은 상수항의 곱! [cite: 74])

예) (x + 2)(x + 7) = x2 + (2+7)x + (2 \times 7) = x2 + 9x + 14

예) (y – 3)(y + 5) = y2 + (-3+5)y + (-3 \times 5) = y2 + 2y – 15

(2) (ax + b)(cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd [cite: 66]

(이 공식은 각 항을 직접 분배법칙으로 전개하는 연습을 충분히 하는 것이 더 도움이 될 수 있어요. [cite: 74])

예) (2x + 1)(3x + 4) = (2 \times 3)x2 + (2 \times 4 + 1 \times 3)x + (1 \times 4) = 6x2 + (8+3)x + 4 = 6x2 + 11x + 4

🌟 조금 더 복잡한 곱셈 공식 (고등학교 과정)

다음은 고등학교 과정에서 새롭게 배우거나 더 중요하게 다루는 곱셈 공식들이에요. 형태가 복잡해 보일 수 있지만, 반복해서 사용하고 유도 과정을 이해하면 익숙해질 수 있답니다!

1. 세 항의 완전제곱식

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca [cite: 66]

(각각 제곱한 항들 + 두 개씩 곱해서 2배한 항들의 합! 항의 순서는 $ab, bc, ca$처럼 순환하는 형태로 쓰는 것이 보기 좋아요. [cite: 66])

예) (x + y – z)2 = x2 + y2 + (-z)2 + 2(x)(y) + 2(y)(-z) + 2(-z)(x)

= x2 + y2 + z2 + 2xy – 2yz – 2zx

2. 세제곱 공식 (합/차)

(1) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 [cite: 66]

(2) (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 [cite: 66]

예) (x + 2)3 = x3 + 3 \cdot x2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8

예) (y – 1)3 = y3 – 3 \cdot y2 \cdot 1 + 3 \cdot y \cdot 12 – 13 = y3 – 3y2 + 3y – 1

3. 세제곱의 합/차를 만드는 곱셈

(1) (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 [cite: 66]

(2) (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 [cite: 66]

(이 공식들은 나중에 인수분해에서 아주 중요하게 사용돼요!)

예) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = (x + 3)(x2 – x \cdot 3 + 32) = x3 + 33 = x3 + 27

더 복잡한 공식들? 😮

PDF 자료 에는 다음과 같은 공식들도 소개되어 있어요.

  • (x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x + abc [cite: 66]
  • (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3-3abc [cite: 66]
  • (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2) = a^4+a^2b^2+b^4 [cite: 66]

이 공식들은 형태가 복잡하지만, 유도 과정을 이해하고 자주 사용하다 보면 익숙해질 수 있습니다. 특히 $(x+a)(x+b)(x+c)$ 공식은 $x^3$의 계수, $x^2$의 계수(세 문자의 합), $x$의 계수(두 문자씩의 곱의 합), 상수항(세 문자의 곱)의 패턴을 기억하면 좋아요. [cite: 76]

🧐 개념확인 문제: 곱셈 공식 활용하기!

이제 배운 곱셈 공식을 활용해서 다음 식들을 전개해 보세요. 어떤 공식을 사용해야 할지 먼저 생각하고 적용해 보면 더욱 효과적이랍니다!

곱셈 공식을 이용하여 다음 식을 전개하시오.

  1. (x + 4)2
  2. (2a – 5b)2
  3. (4x + y)(4x – y)
  4. (y + 3)(y – 6)
  5. (3a + 2)(2a + 5)
  6. (x + y – 3z)2
  7. (x + 2y)3
  8. (a – 3)(a2 + 3a + 9)

정답 및 해설:

  1. (x + 4)2 = x2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 42 = x2 + 8x + 16
  2. (2a – 5b)2 = (2a)2 – 2 \cdot (2a) \cdot (5b) + (5b)2 = 4a2 – 20ab + 25b2
  3. (4x + y)(4x – y) = (4x)2 – y2 = 16x2 – y2
  4. (y + 3)(y – 6) = y2 + (3 – 6)y + (3 \times -6) = y2 – 3y – 18
  5. (3a + 2)(2a + 5) = (3 \times 2)a2 + (3 \times 5 + 2 \times 2)a + (2 \times 5) = 6a2 + (15+4)a + 10 = 6a2 + 19a + 10
  6. (x + y – 3z)2 = x2 + y2 + (-3z)2 + 2(x)(y) + 2(y)(-3z) + 2(-3z)(x) = x2 + y2 + 9z2 + 2xy – 6yz – 6zx
  7. (x + 2y)3 = x3 + 3 \cdot x2 \cdot (2y) + 3 \cdot x \cdot (2y)2 + (2y)3 = x3 + 6x2y + 3x(4y2) + 8y3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3
  8. (a – 3)(a2 + 3a + 9) = (a – 3)(a2 + a \cdot 3 + 32) = a3 – 33 = a3 – 27

곱셈 공식은 처음에는 외우기 조금 많다고 느껴질 수 있지만, 각 공식의 구조를 이해하고 반복해서 연습하다 보면 자연스럽게 익숙해질 거예요. 포기하지 말고 꾸준히 연습하세요! 🔥

오늘은 다항식 계산의 효율을 크게 높여주는 곱셈 공식들에 대해 배웠습니다. 이 공식들은 단순히 계산을 빠르게 하는 것뿐만 아니라, 앞으로 배울 인수분해, 방정식, 함수 등 다양한 수학 분야에서 계속 활용되는 매우 중요한 기초랍니다. 오늘 배운 공식들을 꼭 자기 것으로 만들어서 수학 실력의 단단한 발판으로 삼으시길 바랍니다! 다음 시간에도 유익한 수학 내용으로 만나요! 안녕! 🤓

✨ 곱셈 공식 연습 문제 PDF 링크 삽입 위치 ✨

#곱셈공식, #다항식전개, #완전제곱식, #합차공식, #다항식곱셈, #수학공식, #중학수학, #고등수학, #인수분해기초

Leave a Comment