식의 전개 완벽 마스터: 분배법칙으로 괄호 풀기! 🎨🖌️
안녕하세요, 수학의 건축가 친구들! 👋 오늘은 다항식의 곱셈을 하나의 깔끔한 다항식으로 펼쳐 보이는 식의 전개에 대해 배울 거예요. 마치 접혀 있던 그림을 활짝 펴서 전체 모습을 보는 것과 같답니다! 식의 전개는 앞으로 배울 곱셈 공식이나 인수분해의 기초가 되기 때문에 아주 중요해요. 핵심 도구인 분배법칙만 잘 기억하면 어렵지 않으니, 함께 시작해 볼까요? 😊
📝 핵심만정리: 식의 전개, 이것만 알면 끝!
- 전개: 몇 개의 다항식의 곱을 괄호를 풀어 하나의 다항식으로 나타내는 것. [cite: 50]
- 전개식: 전개하여 얻은 다항식. [cite: 50]
- 전개의 핵심 원리: 분배법칙을 이용하여 각 항을 빠짐없이 곱해준다. [cite: 51, 52]
- 단항식 × 다항식: m(x + y) = mx + my [cite: 52]
- 다항식 × 다항식: (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by (모든 항을 서로 한 번씩 곱해요!) [cite: 53]
- 전개 후에는? 동류항이 있으면 반드시 간단히 정리해요! [cite: 54]
🤔 전개란 무엇일까요?
개념정리 6-1: 전개와 전개식
수학에서 전개란, 여러 다항식들이 곱해진 형태((다항식) × (다항식) 등)로 표현된 식의 괄호를 풀어헤쳐서, 하나의 다항식(항들의 합 또는 차)으로 나타내는 과정을 말해요. [cite: 50, 53] 마치 곱셈이라는 압축 파일을 풀어서 그 안의 내용물(항들)을 모두 보여주는 것과 같죠. 이렇게 전개해서 얻은 다항식을 전개식이라고 부른답니다. [cite: 50]
예를 들어, 2x(x+3)이라는 식은 2x와 (x+3)의 곱으로 되어있죠? 이 식을 전개하면 2x2 + 6x라는 하나의 다항식이 돼요. 이때 2x2 + 6x가 바로 전개식이에요.
distributing_monomials 단항식과 다항식의 곱 전개하기
개념정리 6-2: (단항식) × (다항식)의 전개
단항식과 다항식을 곱할 때는 아주 중요한 분배법칙을 사용해요. [cite: 51] 분배법칙은 괄호 밖의 단항식을 괄호 안의 모든 항에 골고루 곱해주는 규칙이랍니다.
즉, 단항식을 M, 다항식을 (A + B)라고 하면,
M(A + B) = MA + MB
(A + B)M = AM + BM
예시: 3a(2a – 5b + 1)을 전개해 봅시다.
괄호 밖의 3a를 괄호 안의 각 항 2a, -5b, 1에 차례대로 곱해줘요.
3a(2a – 5b + 1) = (3a × 2a) + (3a × (-5b)) + (3a × 1)
= 6a2 – 15ab + 3a
이렇게 각 항에 빠짐없이 곱해주는 것이 중요해요!
multiplying_polynomials 다항식과 다항식의 곱 전개하기
개념정리 6-3: (다항식) × (다항식)의 전개
다항식과 다항식을 곱할 때도 역시 분배법칙을 활용해요. [cite: 52] 방법은 한쪽 다항식의 각 항을 다른 쪽 다항식의 모든 항에 한 번씩 다 곱해주는 거예요. [cite: 53] 모든 조합을 빠짐없이 곱해야 해요!
예를 들어, 두 다항식 (A + B)와 (X + Y)를 곱하면,
(A + B)(X + Y) = A(X + Y) + B(X + Y) (먼저 A를 (X+Y)에 분배, B를 (X+Y)에 분배)
= AX + AY + BX + BY (각각 다시 분배)
전개한 후에는 반드시 동류항이 있는지 확인하고, 있다면 간단히 정리해줘야 해요. [cite: 54]
예시: (2x – 3)(x + 5)를 전개해 봅시다.
방법 1: 하나씩 분배하기
(2x – 3)(x + 5)
= 2x(x + 5) – 3(x + 5) (첫 번째 괄호의 2x와 -3을 각각 (x+5)에 곱함)
= (2x × x) + (2x × 5) + (-3 × x) + (-3 × 5) (다시 분배)
= 2x2 + 10x – 3x – 15
이제 동류항(10x와 -3x)을 계산해요.
= 2x2 + 7x – 15
실수 줄이는 팁! 💡
항이 많은 다항식을 곱할 때는 순서를 정해서 하나씩 곱하고, 곱한 항을 빠뜨리거나 중복해서 계산하지 않도록 주의해야 해요. [cite: 54] 전개 후에는 반드시 동류항을 찾아 간단히 정리하는 습관을 들이세요!
세로셈으로 계산하는 방법도 있어요. [cite: 56] 예를 들어 (2x-5)(3x+4)는 [cite: 55]
2x - 5
× 3x + 4
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8x - 20 <-- (2x-5) × 4
6x² - 15x <-- (2x-5) × 3x (자릿수 맞춰서)
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6x² - 7x - 20
🧐 개념확인 문제: 직접 전개해 볼까요?
이제 배운 내용을 바탕으로 식을 직접 전개해 봅시다. 분배법칙을 사용해서 꼼꼼하게 계산해 보세요!
다음 식을 전개하시오.
- 2ab(a2 – 3ab + 4b2)
- (3a + 2)(2a – 1)
정답 및 해설:
-
2ab(a2 – 3ab + 4b2)
= (2ab × a2) + (2ab × (-3ab)) + (2ab × 4b2)
= 2a3b – 6a2b2 + 8ab3
-
(3a + 2)(2a – 1)
= 3a(2a – 1) + 2(2a – 1)
= (3a × 2a) + (3a × (-1)) + (2 × 2a) + (2 × (-1))
= 6a2 – 3a + 4a – 2
동류항 -3a와 4a를 계산하면:
= 6a2 + a – 2
차근차근 분배법칙을 적용하고 동류항을 정리하면 어떤 다항식의 곱도 전개할 수 있어요. 연습을 통해 익숙해지면 곱셈 공식도 더 쉽게 이해할 수 있게 된답니다! 👍
오늘은 다항식의 곱을 하나의 다항식으로 펼치는 ‘식의 전개’에 대해 배웠습니다. 전개의 핵심은 바로 ‘분배법칙’을 정확하게 사용하는 것과, 전개 후에 동류항을 찾아 깔끔하게 정리하는 것이었죠? 이 과정을 잘 익혀두면 앞으로 배우게 될 곱셈 공식들을 더 깊이 이해하고 활용하는 데 큰 도움이 될 거예요. 수학 실력 향상을 위해 오늘도 수고 많으셨습니다! 🚀