8번 문제 풀이
문제: 어느 동아리는 1학년과 2학년 학생으로 이루어져 있다. 이 동아리의 1학년 남학생은 8명, 2학년 남학생은 10명이고 2학년 여학생은 5명이 있다. 이 동아리의 학생 중 임의로 한 명을 선택할 때, 선택된 학생이 남학생인 사건을 A, 1학년인 사건을 B라 하자. 두 사건 A, B가 서로 독립일 때, 1학년 여학생의 수는?
1. 정보 정리 및 변수 설정
문제의 정보를 표로 정리하면 명확하게 파악할 수 있습니다. 우리가 구하고자 하는 ‘1학년 여학생의 수’를 변수 $x$로 두겠습니다.
| 남학생 (사건 A) | 여학생 | 합계 | |
|---|---|---|---|
| 1학년 (사건 B) | 8 | $x$ | $8+x$ |
| 2학년 | 10 | 5 | 15 |
| 합계 | 18 | $x+5$ | $23+x$ |
동아리의 전체 학생 수는 $23+x$ 명입니다.
2. ‘독립’ 조건 활용하기
두 사건 A(남학생인 사건)와 B(1학년인 사건)가 서로 독립이므로, 다음의 관계식이 성립해야 합니다.
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
표를 바탕으로 각 확률을 $x$에 대한 식으로 나타냅니다.
- $P(A)$: 남학생일 확률 = $\frac{\text{전체 남학생 수}}{\text{전체 학생 수}} = \frac{18}{23+x}$
- $P(B)$: 1학년일 확률 = $\frac{\text{전체 1학년 수}}{\text{전체 학생 수}} = \frac{8+x}{23+x}$
- $P(A \cap B)$: 1학년 남학생일 확률 = $\frac{\text{1학년 남학생 수}}{\text{전체 학생 수}} = \frac{8}{23+x}$
3. 방정식 수립 및 풀이
위에서 구한 식들을 독립 관계식에 대입하여 $x$에 대한 방정식을 세웁니다.
$$\frac{8}{23+x} = \frac{18}{23+x} \times \frac{8+x}{23+x}$$
양변에 $(23+x)$를 곱하여 식을 간단히 합니다 (전체 학생 수는 0이 아니므로 가능).
$$8 = 18 \times \frac{8+x}{23+x}$$
이제 $x$에 대해 방정식을 풉니다.
$8(23+x) = 18(8+x)$
양변을 2로 나누면,
$4(23+x) = 9(8+x)$
$92 + 4x = 72 + 9x$
$92 – 72 = 9x – 4x$
$20 = 5x$
$x=4$
따라서 1학년 여학생의 수는 4명이며, 정답은 ①번 입니다.
9번 문제 풀이
문제: 기본점수가 100점이고 한 문제당 정답을 맞히면 10점, 틀리면 -5점을 부여하는 시험이 있다. 한 문제당 정답을 맞힐 확률이 $\frac{1}{3}$인 학생이 이 시험에서 10문제를 푼 후 점수가 155점이 될 확률이 $\frac{a}{3^9}$일 때, $a$의 값은?
1. 155점을 받기 위한 정답 개수 찾기
먼저, 10문제를 풀어 155점을 받으려면 몇 문제를 맞혀야 하는지 계산해야 합니다.
- 맞힌 문제의 개수를 $k$개라고 하겠습니다.
- 틀린 문제의 개수는 $(10-k)$개가 됩니다.
점수 계산식은 다음과 같습니다.
최종 점수 = 기본 점수 + (맞힌 문제 수 × 10점) + (틀린 문제 수 × -5점)
이 식에 주어진 값들을 대입하여 방정식을 세웁니다.
$155 = 100 + (k \times 10) + ((10-k) \times -5)$
$155 = 100 + 10k – 50 + 5k$
$155 = 50 + 15k$
$105 = 15k$
$k = \frac{105}{15} = 7$
따라서, 학생은 10문제 중 7문제를 맞히고 3문제를 틀려야 155점을 받을 수 있습니다.
2. 독립시행의 확률 계산
각 문제를 맞히는 것은 독립적인 사건이므로, 이 문제는 독립시행의 확률(이항 확률) 문제입니다. 10번의 시도 중 7번 성공할 확률을 구합니다.
- 시행 횟수 ($n$) = 10
- 성공 횟수 ($k$) = 7
- 한 번의 시행에서 성공(정답)할 확률 ($p$) = $\frac{1}{3}$
- 한 번의 시행에서 실패(오답)할 확률 ($1-p$) = $1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
독립시행의 확률 공식은 $P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^{n-k}$ 입니다.
$P(\text{7개 정답}) = C(10, 7) \left(\frac{1}{3}\right)^7 \left(\frac{2}{3}\right)^{10-7} = C(10, 3) \left(\frac{1}{3}\right)^7 \left(\frac{2}{3}\right)^3$
조합 $C(10,3)$을 계산합니다.
$C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$
이제 확률을 계산합니다.
$P(\text{7개 정답}) = 120 \times \frac{1^7}{3^7} \times \frac{2^3}{3^3} = 120 \times \frac{1}{3^7} \times \frac{8}{3^3} = \frac{120 \times 8}{3^{10}} = \frac{960}{3^{10}}$
3. $a$의 값 구하기
문제에서 확률이 $\frac{a}{3^9}$의 형태라고 주어졌습니다. 우리가 계산한 확률 $\frac{960}{3^{10}}$을 이 형태에 맞게 변형합니다.
$$\frac{960}{3^{10}} = \frac{960}{3 \times 3^9} = \frac{320}{3^9}$$
따라서, $\frac{a}{3^9} = \frac{320}{3^9}$ 이므로, $a=320$ 입니다.
정답은 ②번 320 입니다.
10번 문제 풀이
문제: 어느 보석 감정 회사에 감정 의뢰가 들어오는 보석의 70%는 진품이고 30%는 가품이라고 한다. 이 회사의 보석 감별사가 진품을 가품으로 잘못 감별할 확률이 0.05, 가품을 진품으로 잘못 감별할 확률이 0.07이라고 할 때, 이 감별사가 가품으로 감별한 보석이 실제로는 진품일 확률은?
1. 사건 정의 및 확률 정리
이 문제는 조건부 확률 문제이며, 베이즈 정리를 이용하여 해결할 수 있습니다. 먼저 사건을 정의하고 주어진 확률을 정리합니다.
- 사건 G: 보석이 ‘진품’인 사건
- 사건 F: 보석이 ‘가품’인 사건
- 사건 $A_F$: 보석을 ‘가품으로 감별’하는 사건
- 사건 $A_G$: 보석을 ‘진품으로 감별’하는 사건
문제에서 주어진 확률은 다음과 같습니다.
- $P(G) = 0.7$ (진품일 확률)
- $P(F) = 0.3$ (가품일 확률)
- $P(A_F | G) = 0.05$ (진품을 가품으로 잘못 감별할 확률)
- $P(A_G | F) = 0.07$ (가품을 진품으로 잘못 감별할 확률)
우리가 구해야 할 확률은 ‘가품으로 감별한 보석이 실제로는 진품일 확률’ 즉, $P(G | A_F)$ 입니다.
2. 베이즈 정리 적용
베이즈 정리에 따르면, 우리가 구하려는 확률은 다음과 같이 계산됩니다.
$$P(G | A_F) = \frac{P(G \cap A_F)}{P(A_F)} = \frac{P(A_F | G)P(G)}{P(A_F)}$$
계산을 위해 분모인 $P(A_F)$ (가품으로 감별할 총 확률)를 먼저 구해야 합니다.
3. 확률 계산
가. 분모 $P(A_F)$ 계산 (전체 확률의 법칙)
보석이 ‘가품으로 감별’되는 경우는 다음 두 가지입니다.
- 실제 진품인데 가품으로 감별되는 경우
- 실제 가품인데 가품으로 감별되는 경우
$P(A_F) = P(G \cap A_F) + P(F \cap A_F) = P(A_F|G)P(G) + P(A_F|F)P(F)$
여기서 $P(A_F|F)$ (가품을 가품으로 제대로 감별할 확률)가 필요합니다. 이는 ‘가품을 진품으로 잘못 감별할 확률’의 여사건이므로,
$P(A_F|F) = 1 – P(A_G|F) = 1 – 0.07 = 0.93$
이제 $P(A_F)$를 계산합니다.
$P(A_F) = (0.05 \times 0.7) + (0.93 \times 0.3) = 0.035 + 0.279 = 0.314$
나. 분자 $P(G \cap A_F)$ 계산
분자는 ‘보석이 진품이면서 가품으로 감별될 확률’입니다.
$P(G \cap A_F) = P(A_F|G)P(G) = 0.05 \times 0.7 = 0.035$
다. 최종 조건부 확률 계산
이제 베이즈 정리 공식에 계산된 값들을 대입합니다.
$$P(G | A_F) = \frac{0.035}{0.314} = \frac{35}{314}$$
(분자와 분모는 5 또는 7로 나누어지지 않으므로, 이 분수는 기약분수입니다.)
정답은 ①번 $\frac{35}{314}$ 입니다.
11번 문제 풀이
문제: 좌표평면의 원점에 점 P가 있다. 주사위를 던질 때마다 다음 규칙에 따라 점 P를 이동시키는 시행을 한다. … 5번의 시행 후 점 P의 좌표가 (2,3)일 확률을 $m$, (4,1)일 확률을 $n$이라 할 때, $|m-n|$의 값은?
1. 한 번의 시행에 대한 확률 분석
먼저, 주사위를 한 번 던질 때 각 방향으로 이동할 확률을 구합니다.
- $x$축 방향 이동: 나오는 눈의 수가 6의 약수일 경우.
- 6의 약수: {1, 2, 3, 6} (총 4개)
- 확률 $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
- $y$축 방향 이동: 나오는 눈의 수가 6의 약수가 아닐 경우.
- 6의 약수가 아닌 수: {4, 5} (총 2개)
- 확률 $q = 1 – p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
이 시행은 각 시도가 서로 영향을 주지 않는 독립시행입니다.
2. 확률 $m$ 계산하기 (좌표가 (2,3)일 경우)
5번의 시행 후 좌표가 (2,3)이 되려면, $x$축으로 2번, $y$축으로 3번 이동해야 합니다. 이는 5번의 독립시행 중 $x$축 이동(성공)이 2번 일어날 확률을 구하는 것과 같습니다.
독립시행의 확률 공식 $P(X=k) = C(n,k)p^k q^{n-k}$를 이용합니다.
- 총 시행 횟수 $n=5$
- $x$축 이동 횟수 $k=2$
- $x$축 이동 확률 $p=\frac{2}{3}$
- $y$축 이동 확률 $q=\frac{1}{3}$
$m = C(5, 2) \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^3$
$m = 10 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{27} = \frac{40}{243}$
3. 확률 $n$ 계산하기 (좌표가 (4,1)일 경우)
5번의 시행 후 좌표가 (4,1)이 되려면, $x$축으로 4번, $y$축으로 1번 이동해야 합니다. 5번의 독립시행 중 $x$축 이동(성공)이 4번 일어날 확률을 구합니다.
- 총 시행 횟수 $n=5$
- $x$축 이동 횟수 $k=4$
$n = C(5, 4) \left(\frac{2}{3}\right)^4 \left(\frac{1}{3}\right)^1$
$n = 5 \times \frac{16}{81} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{243}$
4. $|m-n|$ 계산하기
위에서 구한 $m$과 $n$의 값을 이용하여 $|m-n|$을 계산합니다.
$$|m-n| = \left| \frac{40}{243} – \frac{80}{243} \right| = \left| -\frac{40}{243} \right| = \frac{40}{243}$$
정답은 ④번 $\frac{40}{243}$ 입니다.
13번 문제 풀이
문제: 1부터 8까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 정팔면체 모양의 주사위 한 개를 던져서 바닥에 닿은 면에 적힌 수가 $n$이면 $n$개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나온 동전의 개수를 헤아린다. 이 시행을 한 번 한 후 앞면이 나온 동전의 개수가 7일 때, 던진 주사위의 눈의 수가 8일 확률은?
1. 문제의 구조 이해: 조건부 확률
이 문제는 ‘앞면이 7개 나왔다’는 조건(결과)이 주어졌을 때, ‘주사위 눈이 8이었다’는 원인의 확률을 구하는 조건부 확률 문제입니다. 베이즈 정리를 이용해 해결할 수 있습니다.
- 사건 A: 앞면이 나온 동전의 개수가 7인 사건
- 사건 $B_n$: 주사위의 눈이 $n$인 사건 ($n=1, 2, …, 8$)
우리가 구해야 할 확률은 $P(B_8 | A)$ 입니다.
2. 핵심 조건 분석
앞면이 7개가 나오려면, 던진 동전의 개수($n$)는 최소 7개여야 합니다. 즉, 주사위의 눈은 7 또는 8이 나왔어야만 합니다. 주사위 눈이 1부터 6까지 나온 경우에는 앞면이 7개가 나올 확률이 0이므로 고려할 필요가 없습니다.
3. 베이즈 정리 적용 및 계산
베이즈 정리에 따라 $P(B_8 | A) = \frac{P(A \cap B_8)}{P(A)}$ 입니다. 여기서 분모 $P(A)$는 앞면이 7개 나올 전체 확률을 의미하며, 다음과 같이 계산됩니다.
$P(A) = P(A \cap B_7) + P(A \cap B_8)$
$P(A) = P(B_7)P(A|B_7) + P(B_8)P(A|B_8)$
가. 각 경우의 확률 계산
정팔면체 주사위이므로, 특정 눈 $n$이 나올 확률은 $P(B_n) = \frac{1}{8}$ 입니다. 동전의 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$ 입니다.
- 주사위 눈이 7인 경우 ($B_7$):
$P(A|B_7)$: 동전 7개를 던져 앞면이 7개 나올 확률
$P(A|B_7) = C(7,7) \left(\frac{1}{2}\right)^7 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{128} = \frac{1}{128}$
따라서, $P(A \cap B_7) = P(B_7)P(A|B_7) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{128} = \frac{1}{1024}$ - 주사위 눈이 8인 경우 ($B_8$):
$P(A|B_8)$: 동전 8개를 던져 앞면이 7개 나올 확률
$P(A|B_8) = C(8,7) \left(\frac{1}{2}\right)^7 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 8 \times \frac{1}{128} \times \frac{1}{2} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$
따라서, $P(A \cap B_8) = P(B_8)P(A|B_8) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{32} = \frac{1}{256}$
나. 전체 확률 $P(A)$ 계산
앞면이 7개 나올 전체 확률은 위 두 경우의 확률을 더한 값입니다.
$P(A) = P(A \cap B_7) + P(A \cap B_8) = \frac{1}{1024} + \frac{1}{256} = \frac{1}{1024} + \frac{4}{1024} = \frac{5}{1024}$
다. 최종 조건부 확률 $P(B_8 | A)$ 계산
이제 베이즈 정리 공식에 따라 최종 확률을 계산합니다.
$$P(B_8 | A) = \frac{P(A \cap B_8)}{P(A)} = \frac{1/256}{5/1024} = \frac{4/1024}{5/1024} = \frac{4}{5}$$
정답은 ③번 $\frac{4}{5}$ 입니다.
12번 문제 풀이
문제: 1부터 9까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 9개의 공이 들어있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수를 작은 것부터 차례로 $a, b, c$라고 하자. $b \ge 4$일 확률은?
전략: 여사건 활용
$b \ge 4$인 경우를 직접 세는 것보다, 그 반대 사건인 ‘$b < 4$'인 경우를 세어 전체 확률 1에서 빼는 것이 더 간단합니다.
$$P(b \ge 4) = 1 – P(b < 4)$$
1. 전체 경우의 수 계산
9개의 공 중에서 3개를 순서에 상관없이 동시에 꺼내는 경우의 수입니다.
$$\text{전체 경우의 수} = C(9, 3) = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$$
2. 여사건의 경우의 수 계산 ($b < 4$)
조건에서 $a < b$이고 $a$는 1 이상의 자연수이므로, $b$는 최소 2가 되어야 합니다. 따라서 $b < 4$를 만족하는 경우는 $b=2$ 또는 $b=3$인 두 가지 시나리오가 있습니다.
경우 1: $b=2$ 인 경우
- $a$는 $b$보다 작아야 하므로: $a=1$ (1가지)
- $c$는 $b$보다 커야 하므로: $c \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ (7가지)
따라서 $b=2$인 경우의 수는 $1 \times 7 = 7$가지 입니다.
경우 2: $b=3$ 인 경우
- $a$는 $b$보다 작아야 하므로: $a \in \{1, 2\}$ (2가지)
- $c$는 $b$보다 커야 하므로: $c \in \{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ (6가지)
따라서 $b=3$인 경우의 수는 $2 \times 6 = 12$가지 입니다.
그러므로 여사건($b<4$)에 해당하는 총 경우의 수는 두 경우의 합입니다.
$7 + 12 = 19$가지
3. 최종 확률 계산
여사건의 확률은 $\frac{19}{84}$ 입니다. 우리가 구하려는 확률은 전체 확률 1에서 이 값을 뺀 것입니다.
$$P(b \ge 4) = 1 – P(b < 4) = 1 - \frac{19}{84} = \frac{84 - 19}{84} = \frac{65}{84}$$
정답은 ④번 $\frac{65}{84}$ 입니다.
13번 문제 풀이
문제: 1부터 8까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 정팔면체 모양의 주사위 한 개를 던져서 바닥에 닿은 면에 적힌 수가 $n$이면 $n$개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나온 동전의 개수를 헤아린다. 이 시행을 한 번 한 후 앞면이 나온 동전의 개수가 7일 때, 던진 주사위의 눈의 수가 8일 확률은?
1. 문제의 구조 이해: 조건부 확률
이 문제는 ‘앞면이 7개 나왔다’는 조건(결과)이 주어졌을 때, ‘주사위 눈이 8이었다’는 원인의 확률을 구하는 조건부 확률 문제입니다. 베이즈 정리를 이용해 해결할 수 있습니다.
- 사건 A: 앞면이 나온 동전의 개수가 7인 사건
- 사건 $B_n$: 주사위의 눈이 $n$인 사건 ($n=1, 2, …, 8$)
우리가 구해야 할 확률은 $P(B_8 | A)$ 입니다.
2. 핵심 조건 분석
앞면이 7개가 나오려면, 던진 동전의 개수($n$)는 최소 7개여야 합니다. 즉, 주사위의 눈은 7 또는 8이 나왔어야만 합니다. 주사위 눈이 1부터 6까지 나온 경우에는 앞면이 7개가 나올 확률이 0이므로 고려할 필요가 없습니다.
3. 베이즈 정리 적용 및 계산
베이즈 정리에 따라 $P(B_8 | A) = \frac{P(A \cap B_8)}{P(A)}$ 입니다. 여기서 분모 $P(A)$는 앞면이 7개 나올 전체 확률을 의미하며, 다음과 같이 계산됩니다.
$P(A) = P(A \cap B_7) + P(A \cap B_8)$
$P(A) = P(B_7)P(A|B_7) + P(B_8)P(A|B_8)$
가. 각 경우의 확률 계산
정팔면체 주사위이므로, 특정 눈 $n$이 나올 확률은 $P(B_n) = \frac{1}{8}$ 입니다. 동전의 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$ 입니다.
- 주사위 눈이 7인 경우 ($B_7$):
$P(A|B_7)$: 동전 7개를 던져 앞면이 7개 나올 확률
$P(A|B_7) = C(7,7) \left(\frac{1}{2}\right)^7 \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{128} = \frac{1}{128}$
따라서, $P(A \cap B_7) = P(B_7)P(A|B_7) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{128} = \frac{1}{1024}$ - 주사위 눈이 8인 경우 ($B_8$):
$P(A|B_8)$: 동전 8개를 던져 앞면이 7개 나올 확률
$P(A|B_8) = C(8,7) \left(\frac{1}{2}\right)^7 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 8 \times \frac{1}{128} \times \frac{1}{2} = \frac{8}{256} = \frac{1}{32}$
따라서, $P(A \cap B_8) = P(B_8)P(A|B_8) = \frac{1}{8} \times \frac{1}{32} = \frac{1}{256}$
나. 전체 확률 $P(A)$ 계산
앞면이 7개 나올 전체 확률은 위 두 경우의 확률을 더한 값입니다.
$P(A) = P(A \cap B_7) + P(A \cap B_8) = \frac{1}{1024} + \frac{1}{256} = \frac{1}{1024} + \frac{4}{1024} = \frac{5}{1024}$
다. 최종 조건부 확률 $P(B_8 | A)$ 계산
이제 베이즈 정리 공식에 따라 최종 확률을 계산합니다.
$$P(B_8 | A) = \frac{P(A \cap B_8)}{P(A)} = \frac{1/256}{5/1024} = \frac{4/1024}{5/1024} = \frac{4}{5}$$
정답은 ③번 $\frac{4}{5}$ 입니다.
14번 문제 풀이
문제: 1부터 5까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 빨간 공 5개와 1부터 5까지 자연수가 각각 하나씩 적힌 파란 공 5개가 들어있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 공에 적힌 수가 적어도 1개는 홀수이고 공의 색깔이 적어도 1개는 파란색일 확률은?
전략: 여사건 활용
‘적어도 ~이고 적어도 ~인’ 형태의 확률은 여사건을 이용하는 것이 훨씬 효율적입니다.
- 사건 A: 적어도 1개는 홀수
- 사건 B: 적어도 1개는 파란색
우리가 구하고자 하는 확률은 $P(A \cap B)$ 입니다. 드모르간의 법칙과 확률의 덧셈정리를 이용하면 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$P(A \cap B) = 1 – P((A \cap B)^C) = 1 – P(A^C \cup B^C)$
$P(A \cap B) = 1 – [P(A^C) + P(B^C) – P(A^C \cap B^C)]$
여기서 각 여사건은 다음과 같습니다.
- $A^C$: 뽑은 공 3개의 숫자가 모두 짝수
- $B^C$: 뽑은 공 3개의 색깔이 모두 빨간색
- $A^C \cap B^C$: 뽑은 공 3개가 모두 짝수이면서 모두 빨간색
1. 공 분류 및 전체 경우의 수
계산을 위해 주머니 속 10개의 공을 종류별로 분류합니다.
- 빨간 공 (5개): 홀수 {1,3,5} (3개), 짝수 {2,4} (2개)
- 파란 공 (5개): 홀수 {1,3,5} (3개), 짝수 {2,4} (2개)
10개의 공 중에서 3개를 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$
2. 여사건의 경우의 수 계산
가. $N(A^C)$: 3개 모두 짝수인 경우
짝수 공은 빨간 공 2개({R2, R4}), 파란 공 2개({B2, B4})로 총 4개 있습니다. 이 4개의 짝수 공 중에서 3개를 뽑는 경우의 수입니다.
$N(A^C) = C(4, 3) = 4$
나. $N(B^C)$: 3개 모두 빨간색인 경우
빨간 공은 총 5개 있습니다. 이 5개의 빨간 공 중에서 3개를 뽑는 경우의 수입니다.
$N(B^C) = C(5, 3) = C(5, 2) = 10$
다. $N(A^C \cap B^C)$: 3개 모두 빨간색이면서 짝수인 경우
빨간색이면서 짝수인 공은 {R2, R4}로 2개뿐입니다. 2개의 공 중에서 3개를 뽑는 것은 불가능합니다.
$N(A^C \cap B^C) = C(2, 3) = 0$
3. 최종 확률 계산
먼저 여사건($A^C \cup B^C$)이 일어날 경우의 수를 계산합니다.
$N(A^C \cup B^C) = N(A^C) + N(B^C) – N(A^C \cap B^C) = 4 + 10 – 0 = 14$
따라서 우리가 구하고자 하는 사건($A \cap B$)의 경우의 수는 전체 경우의 수에서 위 값을 뺀 것입니다.
$N(A \cap B) = \text{전체 경우의 수} – N(A^C \cup B^C) = 120 – 14 = 106$
최종 확률은 다음과 같습니다.
$$P(A \cap B) = \frac{106}{120} = \frac{53}{60}$$
정답은 ⑤번 $\frac{53}{60}$ 입니다.
15번 문제 풀이
문제: 그림과 같이 밑면이 정오각형인 오각기둥의 7개 면을 A색과 B색을 포함한 총 7가지의 서로 다른 색을 모두 사용하여 색칠하려고 한다. 이때, A색과 B색을 서로 이웃하게 색칠할 확률은? (단, 한 면에는 한 가지 색만 사용하고, 회전하여 일치하는 경우는 모두 같은 것으로 본다.)
전략: 조건부 확률 이용
이 문제는 7개의 면에 7개의 색을 칠하는 경우의 수를 계산하는 문제입니다. 회전하여 일치하는 경우를 고려해야 하므로 복잡할 수 있습니다. 하지만 확률 문제이므로, 특정 색(A)을 먼저 칠한 후, 다른 색(B)이 이웃한 면에 칠해질 조건부 확률을 이용하여 간단하게 풀 수 있습니다.
어떤 색을 먼저 칠하든 결과는 동일하므로, A색을 먼저 칠한다고 가정하겠습니다.
1. 오각기둥의 면 분석
오각기둥은 총 7개의 면으로 구성됩니다.
- 밑면 (정오각형): 2개 (윗면, 아랫면)
- 옆면 (직사각형): 5개
2. A색의 위치에 따른 경우 나누기
A색이 밑면에 칠해지는 경우와 옆면에 칠해지는 경우는 B색이 이웃할 조건이 달라지므로, 두 경우로 나누어 생각합니다.
경우 1: A색을 밑면에 칠하는 경우
- A색을 칠할 확률: 7개의 면 중 2개가 밑면이므로, A색을 밑면에 칠할 확률은 $P(\text{A가 밑면}) = \frac{2}{7}$ 입니다.
- B색이 이웃할 조건부 확률: A색을 한쪽 밑면에 칠하면, 남은 면은 6개입니다. 밑면과 이웃한 면은 5개의 옆면 모두입니다. 따라서 B색이 A색과 이웃한 면에 칠해질 확률은 $P(\text{이웃}|A\text{가 밑면}) = \frac{5}{6}$ 입니다.
- 경우 1의 확률: $\frac{2}{7} \times \frac{5}{6} = \frac{10}{42}$
경우 2: A색을 옆면에 칠하는 경우
- A색을 칠할 확률: 7개의 면 중 5개가 옆면이므로, A색을 옆면에 칠할 확률은 $P(\text{A가 옆면}) = \frac{5}{7}$ 입니다.
- B색이 이웃할 조건부 확률: A색을 한쪽 옆면에 칠하면, 남은 면은 6개입니다. 옆면과 이웃한 면은 윗면, 아랫면, 그리고 양옆의 다른 옆면 2개로 총 4개입니다. 따라서 B색이 A색과 이웃한 면에 칠해질 확률은 $P(\text{이웃}|A\text{가 옆면}) = \frac{4}{6}$ 입니다.
- 경우 2의 확률: $\frac{5}{7} \times \frac{4}{6} = \frac{20}{42}$
3. 최종 확률 계산
A색과 B색이 이웃할 전체 확률은 위 두 경우의 확률을 더한 값입니다.
$$P(\text{이웃}) = P(\text{경우 1}) + P(\text{경우 2}) = \frac{10}{42} + \frac{20}{42} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$$
정답은 ⑤번 $\frac{5}{7}$ 입니다.
16번 문제 풀이
문제: 주머니에 1부터 8까지의 자연수가 하나씩 적힌 8개의 공이 들어있다. 이 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 3개의 공에 적힌 수를 작은 것부터 차례대로 $a, b, c$라 하자. $a+b+c$가 홀수일 때, $b$가 홀수일 확률은?
1. 문제의 구조 이해: 조건부 확률
이 문제는 ‘$a+b+c$가 홀수’라는 조건(사건 A)이 주어졌을 때, ‘$b$가 홀수’일 확률(사건 B)을 구하는 조건부 확률 문제입니다.
$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{N(A \cap B)}{N(A)}$$
먼저 주머니의 공을 홀수와 짝수로 분류합니다.
- 홀수 (O): {1, 3, 5, 7} (4개)
- 짝수 (E): {2, 4, 6, 8} (4개)
2. 조건에 맞는 경우의 수 계산
가. $N(A)$: 세 수의 합($a+b+c$)이 홀수인 경우
세 수의 합이 홀수가 되려면 다음 두 가지 조합만 가능합니다.
- (홀, 홀, 홀): 3개 모두 홀수인 경우
4개의 홀수 공 중에서 3개를 뽑는 경우의 수: $C(4, 3) = 4$ - (홀, 짝, 짝): 홀수 1개와 짝수 2개를 뽑는 경우
4개의 홀수 공 중 1개를 뽑고, 4개의 짝수 공 중 2개를 뽑는 경우의 수: $C(4, 1) \times C(4, 2) = 4 \times 6 = 24$
따라서, 합이 홀수가 되는 총 경우의 수는 $N(A) = 4 + 24 = 28$ 입니다.
나. $N(A \cap B)$: 합이 홀수이면서 동시에 $b$가 홀수인 경우
여기서부터는 조금 더 상세한 분석이 필요합니다. $a,b,c$는 크기 순서대로 정렬되어 있습니다.
시나리오 1: (홀, 홀, 홀)을 뽑는 경우
이 경우는 $a, b, c$가 모두 홀수이므로, 당연히 가운데 수인 $b$도 홀수입니다. 이 경우는 위의 계산과 같이 4가지 입니다.
시나리오 2: (홀, 짝, 짝)을 뽑는 경우
이 경우, $a, b, c$의 홀/짝 구성은 (홀,짝,짝), (짝,홀,짝), (짝,짝,홀)이 될 수 없습니다. 왜냐하면 $a, b, c$는 크기 순이기 때문입니다. 즉, 뽑힌 세 수가 {홀수 1개, 짝수 2개}라면 $b$의 홀/짝 여부는 이 세 수의 상대적인 크기에 따라 결정됩니다.
$b$가 홀수가 되려면 뽑힌 세 수가 (짝수, 홀수, 짝수) 형태여야 합니다. 즉, 뽑은 홀수가 두 짝수 사이에 위치해야 합니다.
- 홀수를 하나 선택합니다. 예: 3을 선택
- $a$는 3보다 작은 짝수여야 합니다. $a \in \{2\}$ (1가지)
- $c$는 3보다 큰 짝수여야 합니다. $c \in \{4, 6, 8\}$ (3가지)
- $\rightarrow$ 홀수가 3일 때: $1 \times 3 = 3$가지 ({2,3,4}, {2,3,6}, {2,3,8})
- 홀수가 5일 때, $a \in \{2, 4\}$ (2가지), $c \in \{6, 8\}$ (2가지)
- $\rightarrow$ 홀수가 5일 때: $2 \times 2 = 4$가지
- 홀수가 7일 때, $a \in \{2, 4, 6\}$ (3가지), $c \in \{8\}$ (1가지)
- $\rightarrow$ 홀수가 7일 때: $3 \times 1 = 3$가지
(홀수가 1일 때는 1보다 작은 짝수가 없으므로 불가능합니다.)
따라서 $b$가 홀수인 (홀,짝,짝) 조합의 수는 $3 + 4 + 3 = 10$가지 입니다.
결론적으로, 합이 홀수이면서 $b$도 홀수인 총 경우의 수 $N(A \cap B)$는 두 시나리오의 합입니다.
$N(A \cap B) = (\text{홀,홀,홀 경우}) + (b\text{가 홀수인 홀,짝,짝 경우}) = 4 + 10 = 14$
3. 최종 확률 계산
이제 조건부 확률을 계산합니다.
$$P(B|A) = \frac{N(A \cap B)}{N(A)} = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$$
정답은 ④번 $\frac{1}{2}$ 입니다.
논술형 1번 문제 풀이
문제: 다음은 어떤 학생 A가 사과맛 사탕 7개와 포도맛 사탕 6개가 들어 있는 상자에서 임의로 사탕 2개를 동시에 꺼낼 때, 사탕 2개가 서로 다른 맛일 확률을 구한 것이다. 다음 물음에 답하시오.
나올 수 있는 경우는 사과 맛 사탕 2개, 사과 맛 사탕 1개와 포도 맛 사탕 1개, 포도 맛 사탕 2개의 3가지이다. 따라서 사탕 2개가 서로 다른 맛일 확률은 3가지 경우 중 1가지 경우이므로 $\frac{1}{3}$이다.
(1) 수학적 확률의 뜻(정의)에 비추어 학생 A가 구한 확률이 옳은지 답하고 그 이유를 서술하시오.
답: 학생 A가 구한 확률은 옳지 않다.
이유:
수학적 확률은 “어떤 시행에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때” 사용하는 개념입니다. 즉, 확률을 구하고자 하는 전체 경우의 수를 구성하는 각 경우가 모두 동일한 확률로 발생해야 합니다.
학생 A는 나올 수 있는 결과를 다음과 같은 3가지 경우로 나누었습니다.
- (사과, 사과)
- (사과, 포도)
- (포도, 포도)
하지만 이 3가지 경우는 일어날 가능성이 같지 않습니다. 각 경우의 수를 직접 계산해 보면 다음과 같습니다.
- (사과, 사과)가 나오는 경우의 수: $C(7,2) = 21$가지
- (사과, 포도)가 나오는 경우의 수: $C(7,1) \times C(6,1) = 42$가지
- (포도, 포도)가 나오는 경우의 수: $C(6,2) = 15$가지
이처럼 각 경우가 나올 수 있는 경우의 수가 21, 42, 15로 모두 다르기 때문에, 이 3가지 결과를 ‘동일한 가능성을 가진’ 3가지 경우로 보고 확률을 $\frac{1}{3}$이라고 계산한 것은 수학적 확률의 기본 정의에 어긋납니다.
(2) 학생 A가 구한 확률이 틀렸다면, 옳게 구한 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오.
풀이 과정:
올바른 확률을 구하기 위해서는 근원사건, 즉 13개의 사탕 중 2개를 뽑는 모든 조합이 각각 동일한 가능성으로 일어난다고 보아야 합니다.
가. 전체 경우의 수
서로 다른 13개의 사탕 중에서 2개를 동시에 꺼내는 모든 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = C(13, 2) = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$$
나. 사탕 2개가 서로 다른 맛일 경우의 수
서로 다른 맛의 사탕을 꺼내는 것은 ‘사과맛 사탕 7개 중 1개’를 꺼내고, ‘포도맛 사탕 6개 중 1개’를 꺼내는 것과 같습니다.
$$\text{해당 경우의 수} = C(7, 1) \times C(6, 1) = 7 \times 6 = 42$$
다. 최종 확률 계산
따라서, 사탕 2개가 서로 다른 맛일 올바른 확률은 다음과 같습니다.
$$P(\text{서로 다른 맛}) = \frac{\text{해당 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13}$$
답: 옳은 확률은 $\frac{7}{13}$ 입니다.
논술형 1번 문제 풀이
문제: 다음은 어떤 학생 A가 사과맛 사탕 7개와 포도맛 사탕 6개가 들어 있는 상자에서 임의로 사탕 2개를 동시에 꺼낼 때, 사탕 2개가 서로 다른 맛일 확률을 구한 것이다. 다음 물음에 답하시오.
나올 수 있는 경우는 사과 맛 사탕 2개, 사과 맛 사탕 1개와 포도 맛 사탕 1개, 포도 맛 사탕 2개의 3가지이다. 따라서 사탕 2개가 서로 다른 맛일 확률은 3가지 경우 중 1가지 경우이므로 $\frac{1}{3}$이다.
(1) 수학적 확률의 뜻(정의)에 비추어 학생 A가 구한 확률이 옳은지 답하고 그 이유를 서술하시오.
답: 학생 A가 구한 확률은 옳지 않다.
이유:
수학적 확률은 “어떤 시행에서 각각의 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같은 정도로 기대될 때” 사용하는 개념입니다. 즉, 확률을 구하고자 하는 전체 경우의 수를 구성하는 각 경우가 모두 동일한 확률로 발생해야 합니다.
학생 A는 나올 수 있는 결과를 다음과 같은 3가지 경우로 나누었습니다.
- (사과, 사과)
- (사과, 포도)
- (포도, 포도)
하지만 이 3가지 경우는 일어날 가능성이 같지 않습니다. 각 경우의 수를 직접 계산해 보면 다음과 같습니다.
- (사과, 사과)가 나오는 경우의 수: $C(7,2) = 21$가지
- (사과, 포도)가 나오는 경우의 수: $C(7,1) \times C(6,1) = 42$가지
- (포도, 포도)가 나오는 경우의 수: $C(6,2) = 15$가지
이처럼 각 경우가 나올 수 있는 경우의 수가 21, 42, 15로 모두 다르기 때문에, 이 3가지 결과를 ‘동일한 가능성을 가진’ 3가지 경우로 보고 확률을 $\frac{1}{3}$이라고 계산한 것은 수학적 확률의 기본 정의에 어긋납니다.
(2) 학생 A가 구한 확률이 틀렸다면, 옳게 구한 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오.
풀이 과정:
올바른 확률을 구하기 위해서는 근원사건, 즉 13개의 사탕 중 2개를 뽑는 모든 조합이 각각 동일한 가능성으로 일어난다고 보아야 합니다.
가. 전체 경우의 수
서로 다른 13개의 사탕 중에서 2개를 동시에 꺼내는 모든 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = C(13, 2) = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78$$
나. 사탕 2개가 서로 다른 맛일 경우의 수
서로 다른 맛의 사탕을 꺼내는 것은 ‘사과맛 사탕 7개 중 1개’를 꺼내고, ‘포도맛 사탕 6개 중 1개’를 꺼내는 것과 같습니다.
$$\text{해당 경우의 수} = C(7, 1) \times C(6, 1) = 7 \times 6 = 42$$
다. 최종 확률 계산
따라서, 사탕 2개가 서로 다른 맛일 올바른 확률은 다음과 같습니다.
$$P(\text{서로 다른 맛}) = \frac{\text{해당 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{42}{78} = \frac{7}{13}$$
답: 옳은 확률은 $\frac{7}{13}$ 입니다.
논술형 2번 문제 풀이
문제: 갑, 을, 병을 포함한 6명의 학생이 일렬로 줄을 서려고 한다. 다음 물음에 답하시오.
(1) 갑과 을이 서로 이웃할 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오.
풀이 과정:
가. 전체 경우의 수
6명의 학생이 일렬로 줄을 서는 모든 경우의 수는 6! (6 팩토리얼) 입니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 6! = 720$$
나. 갑과 을이 이웃하는 경우의 수
갑과 을을 하나의 묶음(그룹)으로 생각합니다. 그러면 이 묶음과 나머지 4명(병, 학생3, 학생4, 학생5)을 합쳐 총 5개체를 일렬로 나열하는 것과 같습니다.
- 5개체를 나열하는 경우의 수: $5! = 120$
- 묶음 내에서 갑과 을이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수: $2! = 2$
따라서 갑과 을이 이웃하는 총 경우의 수는 이 둘을 곱한 값입니다.
$$\text{이웃하는 경우의 수} = 5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$$
다. 확률 계산
$$P(\text{갑,을 이웃}) = \frac{\text{이웃하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{240}{720} = \frac{1}{3}$$
답: 갑과 을이 서로 이웃할 확률은 $\frac{1}{3}$ 입니다.
(2) 갑과 을이 서로 이웃하거나 갑과 병이 서로 이웃할 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오.
풀이 과정:
이 문제는 확률의 덧셈정리를 이용하여 해결합니다.
- 사건 A: 갑과 을이 이웃하는 사건
- 사건 B: 갑과 병이 이웃하는 사건
우리가 구하려는 확률은 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$ 입니다.
가. $P(A)$와 $P(B)$ 계산
(1)번에서 $P(A) = P(\text{갑,을 이웃}) = \frac{1}{3}$ 임을 이미 구했습니다.
사건 B(갑,병 이웃)도 사건 A와 구조가 동일하므로, 확률은 같습니다.
$P(B) = P(\text{갑,병 이웃}) = \frac{1}{3}$
나. $P(A \cap B)$ 계산
$A \cap B$는 ‘갑과 을이 이웃하고’ 동시에 ‘갑과 병이 이웃하는’ 사건입니다. 이는 세 학생 (을, 갑, 병) 또는 (병, 갑, 을) 순서로 묶여서 이웃하는 것을 의미합니다.
- 이 세 학생 묶음과 나머지 3명을 합쳐 총 4개체를 일렬로 나열하는 경우의 수: $4! = 24$
- 묶음 내에서 을과 병이 갑을 기준으로 자리를 바꾸는 경우의 수: $2! = 2$ (을갑병, 병갑을)
따라서 $A \cap B$에 해당하는 경우의 수는 $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ 입니다.
확률 $P(A \cap B)$는 다음과 같습니다.
$P(A \cap B) = \frac{48}{720} = \frac{1}{15}$
다. 최종 확률 계산
이제 확률의 덧셈정리에 구한 값들을 대입합니다.
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{15}$$ $$= \frac{2}{3} – \frac{1}{15} = \frac{10}{15} – \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$$
답: 갑과 을이 이웃하거나 갑과 병이 이웃할 확률은 $\frac{3}{5}$ 입니다.
논술형 3번 문제 풀이
문제: 집합 $\{x|x\text{는 8이하의 자연수}\}$의 부분집합 중 임의로 하나의 집합을 택하여 $X$라 할 때, 집합 $X$가 (가)를 만족한다는 조건 아래에서 (나)를 만족시킬 확률을 구하고 그 과정을 서술하시오.
(가) 집합 $X$의 원소의 개수는 4이다.
(나) 집합 $X$의 서로 다른 세 원소의 합은 항상 3의 배수가 아니다.
1. 문제 분석: 조건부 확률
이 문제는 조건부 확률 문제입니다. 조건 (가)가 바로 전체 경우(표본공간)가 되며, 이 중에서 조건 (나)를 만족하는 경우의 비율을 구하는 것입니다.
$$P(\text{나}|\text{가}) = \frac{\text{조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 경우의 수}}{\text{조건 (가)를 만족하는 경우의 수}}$$
우선, 다루어야 할 기본 집합은 $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ 입니다.
2. 분모 계산: 조건 (가)를 만족하는 경우의 수
조건 (가)는 집합 $X$의 원소의 개수가 4인 경우입니다. 이는 집합 $S$의 원소 8개 중에서 4개를 선택하는 조합의 수와 같습니다.
$N(\text{가}) = C(8, 4) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$
3. 분자 계산: 조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 경우의 수
조건 (나)는 “집합 $X$의 서로 다른 세 원소의 합이 항상 3의 배수가 아니다” 입니다. 이 조건을 분석하기 위해 집합 $S$의 원소들을 3으로 나눈 나머지에 따라 분류합니다.
- $R_0$ (나머지 0): $\{3, 6\}$ (2개)
- $R_1$ (나머지 1): $\{1, 4, 7\}$ (3개)
- $R_2$ (나머지 2): $\{2, 5, 8\}$ (3개)
세 수의 합이 3의 배수가 되는 경우는 세 수의 나머지 합이 3의 배수가 될 때입니다. 즉, 다음과 같은 나머지 조합을 피해야 합니다.
- (나머지 1, 1, 1) $\rightarrow$ $R_1$에서 3개를 뽑는 경우
- (나머지 2, 2, 2) $\rightarrow$ $R_2$에서 3개를 뽑는 경우
- (나머지 0, 1, 2) $\rightarrow$ $R_0, R_1, R_2$에서 각각 1개씩 뽑는 경우
집합 $X$가 원소 4개를 가질 때, 위와 같은 세 원소 조합이 생기지 않으려면, $X$의 원소들은 $R_0, R_1, R_2$ 세 그룹 중 최대 두 그룹에서만 와야 합니다. 만약 세 그룹 모두에서 원소를 가져온다면 (0,1,2) 조합이 반드시 생기기 때문입니다.
따라서, 조건 (나)를 만족하는 4개의 원소로 구성된 집합 $X$를 만드는 경우는 다음과 같이 나눌 수 있습니다.
가. $R_0$와 $R_1$ 그룹에서만 4개를 뽑는 경우
$R_0$ (2개), $R_1$ (3개)에서 총 4개를 뽑아야 합니다. $R_1$에서 3개를 모두 뽑으면 안 되므로, $R_0$에서 2개, $R_1$에서 2개를 뽑아야 합니다.
경우의 수: $C(2,2) \times C(3,2) = 1 \times 3 = 3$
나. $R_0$와 $R_2$ 그룹에서만 4개를 뽑는 경우
$R_0$ (2개), $R_2$ (3개)에서 총 4개를 뽑아야 합니다. $R_2$에서 3개를 모두 뽑으면 안 되므로, $R_0$에서 2개, $R_2$에서 2개를 뽑아야 합니다.
경우의 수: $C(2,2) \times C(3,2) = 1 \times 3 = 3$
다. $R_1$와 $R_2$ 그룹에서만 4개를 뽑는 경우
$R_1$ (3개), $R_2$ (3개)에서 총 4개를 뽑아야 합니다. 어느 한 그룹에서 3개를 뽑으면 안 되므로, $R_1$에서 2개, $R_2$에서 2개를 뽑아야 합니다.
경우의 수: $C(3,2) \times C(3,2) = 3 \times 3 = 9$
따라서 조건 (가)와 (나)를 모두 만족하는 경우의 수는 이 세 가지 경우의 합입니다.
$N(\text{가} \cap \text{나}) = 3 + 3 + 9 = 15$
4. 최종 확률 계산
이제 조건부 확률을 계산합니다.
$$P(\text{나}|\text{가}) = \frac{N(\text{가} \cap \text{나})}{N(\text{가})} = \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$$
답: 구하는 확률은 $\frac{3}{14}$ 입니다.