창의고 확통 2023 해설

8번 문제 풀이

문제: 4명이 가위바위보를 한 번 할 때, 이긴 사람이 아무도 없을 확률은?

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상세 풀이 과정

4명이 가위바위보를 할 때 나올 수 있는 모든 경우의 수를 먼저 계산합니다. 각 사람은 가위, 바위, 보 중 3가지 선택을 할 수 있으므로, 4명의 총 경우의 수는 다음과 같습니다.

$$\text{전체 경우의 수} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$$

이긴 사람이 아무도 없는 경우는 ‘무승부’를 의미하며, 다음 두 가지 시나리오로 나눌 수 있습니다.

최종 확률 계산

무승부가 될 모든 경우의 수는 두 시나리오의 합입니다.

$$\text{무승부 경우의 수} = (\text{시나리오 1}) + (\text{시나리오 2}) = 3 + 36 = 39$$

따라서 이긴 사람이 없을 확률은 다음과 같습니다.

$$P(\text{무승부}) = \frac{\text{무승부 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{39}{81} = \frac{13}{27}$$

정답은 ②번 $\frac{13}{27}$ 입니다.

9번 문제 풀이

문제: 두 사건 A, B에 대하여 $P(B|A)=\frac{1}{4}$, $P(A|B)=\frac{1}{3}$, $P(A \cup B)=\frac{2}{3}$일 때, $P(A)+P(B)$의 값은?

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핵심 공식 정리

이 문제를 해결하기 위해 확률의 기본 공식을 사용합니다.

• 조건부 확률의 정의: $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$
• 확률의 덧셈 정리: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

상세 풀이 과정

1. $P(A \cap B)$를 문자로 표현하기

먼저, 두 사건 A와 B가 동시에 일어날 확률, 즉 $P(A \cap B)$를 $x$라고 두겠습니다.

$$P(A \cap B) = x$$

2. $P(A)$와 $P(B)$를 $x$로 나타내기

주어진 조건부 확률 공식을 이용하여 $P(A)$와 $P(B)$를 $x$에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.

• $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1}{4}$ 이므로, $\frac{x}{P(A)} = \frac{1}{4} \implies P(A) = 4x$
• $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1}{3}$ 이므로, $\frac{x}{P(B)} = \frac{1}{3} \implies P(B) = 3x$

3. $x$ 값 구하기

이제 확률의 덧셈 정리에 위에서 구한 식들을 대입하여 $x$ 값을 찾습니다.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

주어진 값 $P(A \cup B) = \frac{2}{3}$를 대입하면,

$\frac{2}{3} = (4x) + (3x) – x$

$\frac{2}{3} = 6x$

$x = \frac{2}{3 \times 6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$

따라서, $P(A \cap B) = \frac{1}{9}$ 입니다.

4. $P(A) + P(B)$ 계산하기

우리가 구하고자 하는 값은 $P(A)+P(B)$ 입니다. $P(A) = 4x$ 이고 $P(B) = 3x$ 이므로,

$P(A) + P(B) = 4x + 3x = 7x$

$x = \frac{1}{9}$를 대입하면,

$$P(A) + P(B) = 7 \times \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$$

정답은 ③번 $\frac{7}{9}$ 입니다.

10번 문제 풀이

문제: 각 면에 1, 2, 3, 4의 숫자가 하나씩 적혀 있는 정사면체 모양의 상자를 5번 던질 때, 다음 조건을 모두 만족시킬 확률은?

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1. 문제 단순화

먼저 각 시행의 결과를 ‘홀수(O)’ 또는 ‘짝수(E)’로 단순화할 수 있습니다.

• 정사면체의 숫자: {1, 2, 3, 4}
• 홀수가 나올 확률: {1, 3}이므로 $P(O) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• 짝수가 나올 확률: {2, 4}이므로 $P(E) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

5번을 던지므로, 우리는 5개의 O 또는 E로 이루어진 순서열을 고려하게 됩니다. 각 특정 순서열(예: OEOOE)이 나올 확률은 $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$ 입니다.

2. 조건 분석

두 조건을 만족하는 경우를 찾아야 합니다.

• 조건 (가) 나온 수의 합은 홀수이다:
  다섯 개의 수의 합이 홀수가 되려면, 다섯 개의 수 중에 홀수의 개수가 홀수여야 합니다. 즉, 홀수가 1번, 3번, 또는 5번 나와야 합니다.
• 조건 (나) 홀수가 연속하는 경우를 포함한다:
  결과 순서열에 ‘OO’ 패턴이 최소 한 번 이상 나타나야 합니다.

3. 조건에 맞는 경우의 수 찾기

홀수가 나오는 횟수를 기준으로 경우를 나누어 두 조건을 모두 만족하는 순서열의 개수를 찾습니다.

4. 최종 확률 계산

두 조건을 모두 만족하는 전체 경우의 수는 각 경우의 합입니다.

$$\text{총 만족하는 경우의 수} = 0 + 10 + 1 = 11$$

각각의 순서열이 나타날 확률은 $\frac{1}{32}$이므로, 구하는 최종 확률은 다음과 같습니다.

$$P(\text{조건 만족}) = (\text{총 만족하는 경우의 수}) \times (\text{각 경우의 확률}) = 11 \times \frac{1}{32} = \frac{11}{32}$$

정답은 ④번 $\frac{11}{32}$ 입니다.

11번 문제 풀이

문제: 원의 둘레를 같은 간격으로 8등분한 8개의 점이 있다. 이 중에서 세 점을 택하여 삼각형을 만들 때, 삼각형이 직각삼각형도 아니고, 이등변삼각형도 아닐 확률은 $\frac{b}{a}$이다. 서로소인 두 자연수 $a, b$에 대하여 $a+b$의 값은?

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전략: 여사건 이용하기

‘직각삼각형도 아니고 이등변삼각형도 아닌’ 삼각형의 개수를 직접 세는 것은 복잡합니다. 대신 전체 삼각형의 개수에서 ‘직각삼각형 또는 이등변삼각형’의 개수를 빼는 방법을 사용하겠습니다.

$P(\text{A 또는 B}) = P(A) + P(B) – P(A \text{ 그리고 } B)$ 공식을 이용합니다.

1. 전체 삼각형의 개수

8개의 점 중에서 3개의 점을 선택하여 만들 수 있는 모든 삼각형의 개수를 구합니다.

$$\text{전체 경우의 수} = C(8, 3) = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

2. 직각삼각형의 개수

원에 내접하는 삼각형이 직각삼각형이 되려면, 빗변이 반드시 원의 지름이어야 합니다. 8개의 점은 정팔각형의 꼭짓점을 이루므로, 마주보는 두 점을 이으면 지름이 됩니다.

• 지름의 개수: 8개의 점으로 만들 수 있는 지름은 $8 \div 2 = 4$개 입니다.
• 삼각형 결정: 하나의 지름을 빗변으로 선택하면(2개의 꼭짓점 사용), 나머지 6개의 점 중 아무 점이나 선택하여 직각삼각형을 만들 수 있습니다.

따라서 직각삼각형의 개수는 다음과 같습니다.

$$(\text{지름의 수}) \times (\text{나머지 점의 수}) = 4 \times 6 = 24$$

3. 이등변삼각형의 개수

이등변삼각형은 한 꼭짓점을 기준으로 나머지 두 꼭짓점이 좌우 대칭인 형태입니다.

• 꼭짓점 선택: 8개의 점 중 하나를 이등변삼각형의 꼭지각에 해당하는 꼭짓점으로 선택합니다 (8가지).
• 밑변 선택: 선택된 꼭짓점을 지나는 지름을 기준으로 나머지 6개의 점들이 3쌍의 대칭을 이룹니다. 이 3쌍 중 하나를 선택하면 이등변삼각형이 만들어집니다.

여기서 정삼각형이 있는지 확인해야 합니다. 정삼각형은 세 번 중복 계산되기 때문입니다. 8개의 점으로는 정삼각형을 만들 수 없으므로 ($8 \div 3$이 정수가 아님), 중복은 없습니다.

따라서 이등변삼각형의 개수는 다음과 같습니다.

$$(\text{꼭지각이 될 점의 수}) \times (\text{만들 수 있는 이등변삼각형 수}) = 8 \times 3 = 24$$

4. 직각이등변삼각형의 개수

직각삼각형이면서 동시에 이등변삼각형인 경우를 구합니다. 이 경우는 직각삼각형의 개수와 이등변삼각형의 개수에 모두 포함되어 있으므로, 한 번 빼주어야 합니다.

• 직각삼각형이므로 빗변은 지름이어야 합니다 (4개의 지름).
• 이등변삼각형이므로, 빗변이 아닌 두 변의 길이가 같아야 합니다. 이는 나머지 한 점이 빗변(지름)의 수직이등분선 위에 있어야 함을 의미합니다.
• 각 지름에 대해 이러한 점은 2개씩 존재합니다.

따라서 직각이등변삼각형의 개수는 다음과 같습니다.

$$(\text{지름의 수}) \times 2 = 4 \times 2 = 8$$

5. 최종 확률 계산

먼저, ‘직각삼각형 또는 이등변삼각형’의 개수를 구합니다.

$$N(\text{직각 또는 이등변}) = N(\text{직각}) + N(\text{이등변}) – N(\text{직각이등변})$$

$$= 24 + 24 – 8 = 40$$

이제 우리가 원하는 ‘직각삼각형도 아니고 이등변삼각형도 아닌’ 삼각형의 개수를 구합니다.

$$N(\text{원하는 삼각형}) = (\text{전체 삼각형}) – N(\text{직각 또는 이등변}) = 56 – 40 = 16$$

마지막으로 확률을 계산합니다.

$$P = \frac{\text{원하는 삼각형의 수}}{\text{전체 삼각형의 수}} = \frac{16}{56} = \frac{2}{7}$$

문제에서 이 확률이 $\frac{b}{a}$라고 했으므로 $a=7, b=2$ 입니다. 두 수는 서로소인 자연수입니다.

$a+b = 7+2 = 9$

정답은 ①번 9 입니다.

12번 문제 풀이

문제: 주머니 P에는 흰 공 2개, 검은 공 5개가 들어 있고, 주머니 Q에는 흰 공 3개, 검은 공 2개가 들어 있다. 두 주머니 P, Q에서 각각 2개씩 공을 동시에 꺼내어 확인해 보니 그 중에서 흰 공이 모두 3개였다. 이때, 주머니 Q에서 흰 공 2개를 꺼냈을 확률은?

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1. 문제의 구조 이해: 조건부 확률

이 문제는 ‘흰 공이 모두 3개 나왔다’는 조건 하에서 ‘주머니 Q에서 흰 공 2개를 꺼냈을’ 확률을 구하는 조건부 확률 문제입니다.

• 사건 A: 전체에서 흰 공이 3개 나옴. (이것이 조건)
• 사건 B: 주머니 Q에서 흰 공 2개를 꺼냄.

우리가 구해야 할 확률은 $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 입니다.

2. ‘흰 공이 3개 나오는 경우(사건 A)’ 분석

두 주머니에서 총 4개의 공을 꺼냈을 때 흰 공이 3개가 나오는 경우는 다음 두 가지 시나리오로 나눌 수 있습니다.

3. 각 경우의 확률 계산

경우 1의 확률:

• P에서 (흰1, 검1) 뽑을 확률: $\frac{C(2,1) \times C(5,1)}{C(7,2)} = \frac{2 \times 5}{21} = \frac{10}{21}$
• Q에서 (흰2) 뽑을 확률: $\frac{C(3,2)}{C(5,2)} = \frac{3}{10}$
• 경우 1의 총 확률: $\frac{10}{21} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$

경우 2의 확률:

• P에서 (흰2) 뽑을 확률: $\frac{C(2,2)}{C(7,2)} = \frac{1}{21}$
• Q에서 (흰1, 검1) 뽑을 확률: $\frac{C(3,1) \times C(2,1)}{C(5,2)} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10}$
• 경우 2의 총 확률: $\frac{1}{21} \times \frac{6}{10} = \frac{6}{210} = \frac{1}{35}$

4. 조건부 확률 계산

$P(A)$: 흰 공이 3개 나올 총 확률
두 경우는 동시에 일어날 수 없으므로, 두 확률을 더합니다.

$$P(A) = P(\text{경우 1}) + P(\text{경우 2}) = \frac{1}{7} + \frac{1}{35} = \frac{5}{35} + \frac{1}{35} = \frac{6}{35}$$

$P(A \cap B)$: 우리가 원하는 사건의 확률
‘흰 공이 총 3개’이고 ‘Q에서 흰 공 2개’를 뽑는 사건은 위에서 분석한 경우 1과 정확히 일치합니다.

$$P(A \cap B) = P(\text{경우 1}) = \frac{1}{7}$$

최종 확률 $P(B|A)$
이제 조건부 확률 공식에 대입합니다.

$$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/7}{6/35} = \frac{1}{7} \times \frac{35}{6} = \frac{5}{6}$$

정답은 ⑤번 $\frac{5}{6}$ 입니다.

13번 문제 풀이

문제: 주머니에 1부터 10까지 자연수가 각각 적힌 10장의 카드가 들어 있다. 이 주머니에서 카드를 임의로 1장씩 꺼내어 꺼낸 카드에 적힌 수의 합이 5의 배수가 될 때까지 꺼내는 시행을 할 때, 카드를 3장 이상 꺼낼 확률은? (단, 꺼낸 카드는 다시 넣지 않고, 처음 꺼낸 카드에 적힌 수가 5의 배수이면 시행을 멈춘다.)

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전략: 여사건 활용하기

‘카드를 3장 이상 꺼낼’ 확률을 직접 구하는 것은 여러 경우(3장, 4장, …)를 고려해야 하므로 복잡합니다. 대신 전체 확률 1에서 반대 사건, 즉 ‘카드를 2장 이하로 꺼낼’ 확률을 빼는 것이 간단합니다.

$$P(\text{3장 이상}) = 1 – P(\text{2장 이하})$$ $$P(\text{2장 이하}) = P(\text{1장에서 멈춤}) + P(\text{2장에서 멈춤})$$

1. 카드 분류하기 (5로 나눈 나머지 기준)

계산을 편리하게 하기 위해 1부터 10까지의 카드를 5로 나눈 나머지에 따라 분류합니다.

• 나머지 0 (R0): {5, 10} – 2장
• 나머지 1 (R1): {1, 6} – 2장
• 나머지 2 (R2): {2, 7} – 2장
• 나머지 3 (R3): {3, 8} – 2장
• 나머지 4 (R4): {4, 9} – 2장

2. 1장에서 멈출 확률 계산

시행이 1장에서 멈추려면, 처음 뽑은 카드가 5의 배수(R0 그룹)여야 합니다.

$$P(\text{1장에서 멈춤}) = \frac{\text{R0 그룹 카드 수}}{\text{전체 카드 수}} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$

3. 2장에서 멈출 확률 계산

시행이 2장에서 멈추려면, 첫 번째 카드는 5의 배수가 아니어야 하고, 두 번째 카드까지의 합이 5의 배수여야 합니다.

• 첫 번째 뽑기: 5의 배수가 아닌 카드(R1, R2, R3, R4 그룹)를 뽑아야 합니다.
  확률은 $\frac{8}{10}$ 입니다.
• 두 번째 뽑기: 첫 번째 뽑은 카드의 나머지와 더해서 5가 되는 나머지를 가진 카드를 뽑아야 합니다. (예: 첫 카드가 R1이면 두 번째는 R4)
  • 첫 카드가 R1(2장)일 때, 두 번째는 R4(2장)를 뽑아야 함.
  • 첫 카드가 R2(2장)일 때, 두 번째는 R3(2장)를 뽑아야 함.
  • … 등등
  어떤 그룹(R1~R4)에서 첫 카드를 뽑든, 남은 9장 중 합을 5의 배수로 만드는 카드는 항상 2장이 있습니다. 따라서 두 번째 뽑기에서 성공할 조건부 확률은 $\frac{2}{9}$ 입니다.

따라서 2장에서 멈출 확률은 다음과 같습니다.

$$P(\text{2장에서 멈춤}) = P(\text{첫 장이 5의배수 아님}) \times P(\text{두 번째 장에서 합이 5의배수})$$ $$= \frac{8}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{16}{90} = \frac{8}{45}$$

4. 최종 확률 계산

먼저 ‘2장 이하로 꺼낼 확률’을 구합니다.

$$P(\text{2장 이하}) = P(\text{1장}) + P(\text{2장}) = \frac{1}{5} + \frac{8}{45} = \frac{9}{45} + \frac{8}{45} = \frac{17}{45}$$

이제 우리가 구하려는 ‘3장 이상 꺼낼 확률’을 계산합니다.

$$P(\text{3장 이상}) = 1 – P(\text{2장 이하}) = 1 – \frac{17}{45} = \frac{28}{45}$$

정답은 ⑤번 $\frac{28}{45}$ 입니다.

14번 문제 풀이

문제: 어느 학교에서 100명의 학생을 대상으로 치킨과 피자 중 선호하는 음식을 조사하여 나타낸 표의 일부이다. … 뽑힌 학생이 여자인 사건과 피자를 선호할 사건이 서로 독립이다. 뽑힌 학생이 남자일 때, 치킨을 선호할 확률은?

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1. 표 완성하기

먼저, 주어진 정보로 표의 빈칸을 최대한 채웁니다. 전체 학생은 100명이고 남자 학생은 40명이므로, 여자 학생은 $100 – 40 = 60$명입니다.

표의 빈칸에 변수를 넣어 정리해 보겠습니다.

	치킨	피자	합계
남자	a	b	40
여자	c	36	60
합계	x	y	100

2. ‘독립’ 조건 활용하기

‘여자인 사건(A)’과 ‘피자를 선호하는 사건(B)’이 서로 독립이므로, 다음 관계식이 성립합니다.

$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$

표의 내용을 이용해 각 확률을 계산합니다.

• $P(A)$: 여학생일 확률 = $\frac{60}{100}$
• $P(B)$: 피자를 선호할 확률 = $\frac{y}{100}$
• $P(A \cap B)$: 여학생이면서 피자를 선호할 확률 = $\frac{36}{100}$

위 식에 대입하여 피자를 선호하는 전체 학생 수(y)를 구합니다.

$$\frac{36}{100} = \frac{60}{100} \times \frac{y}{100}$$

$$36 = 60 \times \frac{y}{100} \implies 36 = \frac{3}{5}y$$

$$y = 36 \times \frac{5}{3} = 12 \times 5 = 60$$

피자를 선호하는 전체 학생 수는 60명입니다. 이제 표를 완전히 채울 수 있습니다.

• 피자 선호 남학생(b) = $y – 36 = 60 – 36 = 24$명
• 치킨 선호 남학생(a) = $40 – b = 40 – 24 = 16$명

완성된 표:

	치킨	피자	합계
남자	16	24	40
여자	24	36	60
합계	40	60	100

3. 조건부 확률 계산

이제 문제에서 요구하는 ‘뽑힌 학생이 남자일 때, 치킨을 선호할 확률’을 계산합니다. 이것은 조건부 확률 $P(\text{치킨}|\text{남자})$ 입니다.

$$P(\text{치킨}|\text{남자}) = \frac{\text{치킨을 선호하는 남학생 수}}{\text{전체 남학생 수}}$$

$$= \frac{16}{40} = \frac{2}{5}$$

정답은 ③번 $\frac{2}{5}$ 입니다.

15번 문제 풀이

문제: 어느 고등학교 2학년의 3개 반에서 대표 2명씩 모두 6명의 학생이 참석하는 회의를 한다. 이 6명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 같은 반 학생끼리 서로 이웃하여 앉은 반이 적어도 한 반 이상 있을 확률은? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

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전략: 포함-배제 원리 사용

‘적어도 한 반’이라는 표현이 있으므로, 포함-배제의 원리를 사용하는 것이 효과적입니다. 또는 전체 확률에서 아무도 이웃하지 않을 확률(여사건)을 빼는 방법도 있으나, 포함-배제 원리가 더 체계적일 수 있습니다.

세 반을 A, B, C라고 하고, 각 반의 학생들이 이웃하여 앉는 사건을 각각 $E_A, E_B, E_C$라고 하겠습니다. 우리가 구할 확률은 $P(E_A \cup E_B \cup E_C)$ 입니다.

$P(E_A \cup E_B \cup E_C) = P(E_A)+P(E_B)+P(E_C) – [P(E_A \cap E_B)+…] + P(E_A \cap E_B \cap E_C)$

1. 전체 경우의 수

6명의 학생을 원탁에 배열하는 경우의 수(원순열)를 계산합니다.

$$\text{전체 경우의 수} = (6-1)! = 5! = 120$$

2. 각 사건의 경우의 수 계산

(a) 한 반만 이웃하는 경우 ($N(E_A)$)

A반 학생 2명을 하나의 묶음으로 취급합니다. 그러면 총 5개체(A묶음, B1, B2, C1, C2)를 원탁에 배열하는 것과 같습니다.

• 5개체를 원형으로 배열하는 경우의 수: $(5-1)! = 4! = 24$
• A묶음 내에서 A반 학생 2명이 자리를 바꾸는 경우의 수: $2! = 2$

$N(E_A) = 4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$

(b) 두 반이 이웃하는 경우 ($N(E_A \cap E_B)$)

A반 묶음과 B반 묶음을 만듭니다. 총 4개체(A묶음, B묶음, C1, C2)를 원탁에 배열합니다.

• 4개체를 원형으로 배열하는 경우의 수: $(4-1)! = 3! = 6$
• A, B 각 묶음 내에서 자리를 바꾸는 경우의 수: $2! \times 2! = 4$

$N(E_A \cap E_B) = 3! \times 2! \times 2! = 6 \times 4 = 24$

(c) 세 반 모두 이웃하는 경우 ($N(E_A \cap E_B \cap E_C)$)

A, B, C 세 반을 각각 묶음으로 취급합니다. 총 3개체(A묶음, B묶음, C묶음)를 원탁에 배열합니다.

• 3개체를 원형으로 배열하는 경우의 수: $(3-1)! = 2! = 2$
• A, B, C 각 묶음 내에서 자리를 바꾸는 경우의 수: $2! \times 2! \times 2! = 8$

$N(E_A \cap E_B \cap E_C) = 2! \times (2!)^3 = 2 \times 8 = 16$

3. 최종 확률 계산

포함-배제 원리에 따라 ‘적어도 한 반이 이웃하는’ 총 경우의 수를 구합니다. 대칭성에 의해 $N(E_A)=N(E_B)=N(E_C)$ 이고, $N(E_A \cap E_B)=N(E_B \cap E_C)=N(E_C \cap E_A)$ 입니다.

$N(\text{적어도 한 반 이웃}) = 3 \times N(E_A) – 3 \times N(E_A \cap E_B) + N(E_A \cap E_B \cap E_C)$

$= 3 \times 48 – 3 \times 24 + 16$

$= 144 – 72 + 16 = 88$

이제 최종 확률을 계산합니다.

$$P(\text{적어도 한 반 이웃}) = \frac{\text{해당 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{88}{120} = \frac{11}{15}$$

정답은 ③번 $\frac{11}{15}$ 입니다.

16번 문제 풀이

문제: 주머니에 2가 적혀 있는 공 4개와 3이 적혀 있는 공 3개가 들어 있다. … 다시 임의로 3개의 공을 동시에 꺼냈을 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 세 수의 곱이 홀수일 확률은 $\frac{q}{p}$이다. $p+q$의 값은?

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1. 문제의 핵심 파악

세 수의 곱이 홀수이려면, 세 수 모두 홀수여야 합니다. 이 문제에서는 ‘3’이 적힌 공을 3개 뽑아야 함을 의미합니다.

이 확률은 첫 번째 뽑기에서 어떤 공이 나오는지에 따라 달라지므로, 두 가지 시나리오로 나누어 계산해야 합니다.

2. 시나리오별 확률 계산

3. 최종 확률 및 답 계산

두 시나리오는 동시에 일어날 수 없으므로, 전체 확률은 두 시나리오의 확률을 더한 값입니다.

$$P(\text{곱이 홀수}) = P(A \text{ 경우}) + P(B \text{ 경우})$$ $$= \frac{1}{147} + \frac{1}{14}$$

통분하여 계산합니다. (147과 14의 최소공배수는 294)

$$= \frac{2}{294} + \frac{21}{294} = \frac{23}{294}$$

문제에서 확률이 $\frac{q}{p}$ 이고, p와 q는 서로소인 자연수라고 했습니다. 따라서 $q=23$, $p=294$ 입니다. (23은 소수이고 294는 23으로 나누어지지 않으므로 서로소입니다.)

우리가 구해야 할 값은 $p+q$ 입니다.

$$p+q = 294 + 23 = 317$$

정답은 ①번 317 입니다.

논술형 1번 문제 풀이

문제: 1부터 8까지의 숫자가 하나씩 적혀 있는 8장의 카드를 그림과 같이 각각 4장씩 2줄로 나열할 때, 위, 아래로 같은 열에 있는 두 장의 카드에 적힌 수의 합이 네 열 모두 같은 $k$가 될 확률 $p$를 구하는 과정이다. 다음 물음에 답하시오.

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(1) $k$의 값을 구하시오.

8장의 카드에 적힌 숫자의 총합은 $1+2+3+4+5+6+7+8$ 입니다.

$$\text{모든 수의 합} = \frac{8(8+1)}{2} = 36$$

문제의 조건에 따라 4개의 각 열에 있는 두 카드의 합이 모두 $k$로 동일합니다. 따라서 8장 카드 숫자의 총합은 4개 열의 합의 총합과 같습니다.

$$(\text{1열의 합}) + (\text{2열의 합}) + (\text{3열의 합}) + (\text{4열의 합}) = 36$$

$$k + k + k + k = 36$$

$$4k = 36$$

$$k = 9$$

답: $k$의 값은 9입니다.

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(2) 확률 $p$를 구하는 풀이 과정과 답을 서술하시오.

가. 전체 경우의 수 구하기

8개의 서로 다른 카드를 8개의 자리에 나열하는 경우의 수이므로, 전체 경우의 수는 8! (8 팩토리얼) 입니다.

$$\text{전체 경우의 수} = 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40,320$$

나. 조건을 만족하는 경우의 수 구하기

각 열의 합이 $k=9$가 되려면, 8개의 카드가 다음과 같이 네 쌍으로 묶여 각 열에 배치되어야 합니다.

(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)

이제 이 네 쌍을 4개의 열에 배열하는 경우의 수를 계산합니다.

1. 네 쌍을 네 열에 배정하기:
   서로 다른 4개의 쌍을 4개의 열에 배정하는 경우의 수는 $4!$ 입니다.
   $4! = 24$
2. 각 열 내부에서 카드 위치 바꾸기:
   각 열에 배정된 한 쌍의 카드(예: (1, 8))는 위아래로 자리를 바꿀 수 있습니다 (1이 위, 8이 아래 또는 8이 위, 1이 아래). 각 열마다 2가지 경우가 있으므로, 총 $2^4$ 입니다.
   $2^4 = 16$

따라서 조건을 만족하는 총 경우의 수는 이 둘을 곱한 값입니다.

$$\text{만족하는 경우의 수} = 4! \times 2^4 = 24 \times 16 = 384$$

다. 확률 $p$ 계산하기

확률 $p$는 전체 경우의 수에 대한 조건을 만족하는 경우의 수의 비율입니다.

$$p = \frac{\text{만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{4! \times 2^4}{8!} = \frac{384}{40320}$$

팩토리얼 형태로 약분하여 계산하면 더 편리합니다.

$$p = \frac{4! \times 16}{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!} = \frac{16}{8 \times 7 \times 6 \times 5} = \frac{2}{7 \times 6 \times 5} = \frac{1}{7 \times 3 \times 5} = \frac{1}{105}$$

답: 확률 $p$는 $\frac{1}{105}$ 입니다.

논술형 2번 문제 풀이

문제: 다음 표와 같이 세 상자 A, B, C에 검은 공, 흰 공, 붉은 공이 들어있다. 임의로 상자를 한 개 골라 공을 한 개 꺼낼 때, 다음 물음에 답하시오.

주어진 정보 정리

	A 상자	B 상자	C 상자
검은 공	5개	6개	3개
흰 공	6개	30개	22개
붉은 공	29개	24개	15개
총 개수	40개	60개	40개

임의로 상자를 한 개 고르므로, 각 상자를 선택할 확률은 모두 $\frac{1}{3}$로 동일합니다.
$P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{3}$

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(1) 꺼낸 공이 검은 공일 확률을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

풀이 과정:

꺼낸 공이 검은 공일 확률은 확률의 덧셈정리에 의해 다음 세 가지 경우의 확률을 모두 더한 값과 같습니다.

• 상자 A를 선택하고 검은 공을 꺼낼 확률
• 상자 B를 선택하고 검은 공을 꺼낼 확률
• 상자 C를 선택하고 검은 공을 꺼낼 확률

이를 수식으로 표현하면 다음과 같습니다.
$P(\text{검은 공}) = P(A \cap \text{검은 공}) + P(B \cap \text{검은 공}) + P(C \cap \text{검은 공})$
$= P(A)P(\text{검은 공}|A) + P(B)P(\text{검은 공}|B) + P(C)P(\text{검은 공}|C)$

각 상자에서 검은 공을 꺼낼 조건부 확률은 다음과 같습니다.

• $P(\text{검은 공}|A) = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$
• $P(\text{검은 공}|B) = \frac{6}{60} = \frac{1}{10}$
• $P(\text{검은 공}|C) = \frac{3}{40}$

따라서 전체 확률은 다음과 같이 계산됩니다.

$P(\text{검은 공}) = (\frac{1}{3} \times \frac{1}{8}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{10}) + (\frac{1}{3} \times \frac{3}{40})$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{3}{40} \right)$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{5}{40} + \frac{4}{40} + \frac{3}{40} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{12}{40} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{10}$

답: 꺼낸 공이 검은 공일 확률은 $\frac{1}{10}$ 입니다.

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(2) 꺼낸 공이 검은 공이었다고 할 때, 상자 A에서 나왔을 확률을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

풀이 과정:

이 문제는 ‘꺼낸 공이 검은 공’이라는 조건이 주어졌을 때, 그 공이 ‘상자 A’에서 나왔을 조건부 확률을 구하는 것입니다. 베이즈 정리를 이용하여 계산할 수 있습니다.

우리가 구하고자 하는 확률은 $P(A | \text{검은 공})$ 입니다.

$P(A | \text{검은 공}) = \frac{P(A \cap \text{검은 공})}{P(\text{검은 공})}$

분자와 분모에 해당하는 값은 (1)번 풀이 과정에서 이미 계산했습니다.

• 분자 $P(A \cap \text{검은 공})$: 상자 A를 선택하고 검은 공을 꺼낼 확률입니다.
  $P(A \cap \text{검은 공}) = P(A) \times P(\text{검은 공}|A) = \frac{1}{3} \times \frac{5}{40} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24}$
• 분모 $P(\text{검은 공})$: (1)번에서 구한 검은 공을 꺼낼 전체 확률입니다.
  $P(\text{검은 공}) = \frac{1}{10}$

이제 값을 대입하여 최종 확률을 계산합니다.

$P(A | \text{검은 공}) = \frac{1/24}{1/10} = \frac{1}{24} \times \frac{10}{1} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

답: 꺼낸 공이 검은 공이었을 때 상자 A에서 나왔을 확률은 $\frac{5}{12}$ 입니다.

논술형 3번 문제 풀이

문제: 두 사건 A, B가 서로 독립이고, $P(A \cup B)=\frac{17}{32}$, $P(A \cap B)=\frac{3}{32}$, $P(A) > P(B)$라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

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(1) $P(A)$의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

풀이 과정:

두 사건 A, B가 서로 독립이므로 다음 두 가지 핵심 관계식이 성립합니다.

1. 확률의 덧셈정리: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$
2. 독립사건의 곱셈정리: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$

$P(A)=x$, $P(B)=y$라고 두겠습니다.

먼저, 덧셈정리에 주어진 값을 대입하여 $P(A)+P(B)$를 구합니다.

$\frac{17}{32} = P(A) + P(B) – \frac{3}{32}$

$P(A) + P(B) = \frac{17}{32} + \frac{3}{32} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}$

즉, $x+y = \frac{5}{8}$ 입니다.

또한, 독립사건의 곱셈정리에 의해 $P(A) \times P(B) = P(A \cap B)$ 이므로,

$x \times y = \frac{3}{32}$ 입니다.

이제 합이 $\frac{5}{8}$이고 곱이 $\frac{3}{32}$인 두 수 $x, y$를 찾으면 됩니다. 이는 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 풀 수 있습니다. $x$와 $y$는 다음 이차방정식의 두 근이 됩니다.

$t^2 – (x+y)t + xy = 0$

$t^2 – \frac{5}{8}t + \frac{3}{32} = 0$

양변에 32를 곱하여 계수를 정수로 만듭니다.

$32t^2 – 20t + 3 = 0$

이차방정식을 인수분해합니다.

$(4t-1)(8t-3) = 0$

따라서 두 근은 $t=\frac{1}{4}$ 또는 $t=\frac{3}{8}$ 입니다. 즉, $\{P(A), P(B)\} = \{\frac{1}{4}, \frac{3}{8}\}$ 입니다.

문제의 조건에서 $P(A) > P(B)$ 이고, $\frac{3}{8} > \frac{1}{4} (\text{∵}\frac{2}{8})$ 이므로, $P(A) = \frac{3}{8}$ 입니다.

답: $P(A) = \frac{3}{8}$

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(2) $P(A^C \cap B)$의 값을 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오.

풀이 과정:

$P(A^C \cap B)$는 사건 B는 일어나고 사건 A는 일어나지 않을 확률을 의미합니다. 이 값은 두 가지 방법으로 구할 수 있습니다.

방법 1: 독립성 이용

두 사건 A와 B가 서로 독립이면, A의 여사건 $A^C$와 B도 서로 독립입니다. 따라서 다음 식이 성립합니다.

$P(A^C \cap B) = P(A^C) \times P(B)$

(1)번 풀이에서 $P(A) = \frac{3}{8}$ 이고 $P(B) = \frac{1}{4}$ 임을 구했습니다.

$P(A^C) = 1 – P(A) = 1 – \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ 입니다.

이를 식에 대입하면 다음과 같습니다.

$P(A^C \cap B) = \frac{5}{8} \times \frac{1}{4} = \frac{5}{32}$

방법 2: 집합의 연산 이용

확률의 성질에 따라 $P(A^C \cap B)$는 $P(B)$에서 $P(A \cap B)$를 뺀 값과 같습니다.

$P(A^C \cap B) = P(B) – P(A \cap B)$

주어진 값 $P(A \cap B) = \frac{3}{32}$ 와 (1)번에서 구한 $P(B) = \frac{1}{4}$ 을 대입합니다.

$P(A^C \cap B) = \frac{1}{4} – \frac{3}{32} = \frac{8}{32} – \frac{3}{32} = \frac{5}{32}$

답: $P(A^C \cap B) = \frac{5}{32}$

논술형 4번 문제 풀이

문제: 표본공간 $S=\{1, 2, 3, 4\}$의 공집합이 아닌 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 사건을 선택했을 때, 두 사건이 서로 배반사건일 확률을 구하는 풀이과정을 상세히 서술하고 답을 구하시오.

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1. 전체 경우의 수 계산

먼저, 확률을 계산하기 위한 전체 경우의 수를 구합니다.

가. 선택 가능한 총 사건(부분집합)의 개수

표본공간 $S=\{1, 2, 3, 4\}$의 원소의 개수는 4개입니다. 따라서 $S$의 모든 부분집합의 개수는 $2^4 = 16$개 입니다. 문제에서는 ‘공집합이 아닌 부분집합’을 사건으로 정의하므로, 공집합($\emptyset$)을 제외한 사건의 총 개수는 다음과 같습니다.

총 사건의 수 = $16 – 1 = 15$개

나. 두 사건을 선택하는 전체 경우의 수

이 15개의 서로 다른 사건(부분집합) 중에서 2개를 순서에 상관없이 선택하는 경우의 수이므로, 조합을 이용합니다.

$$\text{전체 경우의 수} = C(15, 2) = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$$

2. 배반사건인 경우의 수 계산

이제 선택된 두 사건 A와 B가 서로 배반사건인 경우의 수를 구합니다. 배반사건은 두 사건의 교집합이 공집합인 경우($A \cap B = \emptyset$)를 의미합니다.

여기서 $A$와 $B$는 모두 공집합이 아닌 부분집합입니다.

이 경우의 수를 세기 위해, $S$의 각 원소({1, 2, 3, 4})가 두 부분집합 $A, B$와 어떤 관계를 맺는지 생각해보겠습니다. $A \cap B = \emptyset$ 이므로, 각 원소는 다음 세 가지 중 하나의 상태를 가집니다.

1. 원소가 $A$에만 속한다. ($x \in A$)
2. 원소가 $B$에만 속한다. ($x \in B$)
3. 원소가 $A$와 $B$ 어디에도 속하지 않는다. ($x \notin A \cup B$)

각 4개의 원소가 3가지 선택지를 가지므로, $A \cap B = \emptyset$를 만족하는 순서쌍 $(A, B)$의 개수는 $3^4 = 81$개 입니다. 하지만 이 81개에는 $A$ 또는 $B$가 공집합인 경우가 포함되어 있습니다.

우리는 $A$와 $B$가 모두 공집합이 아닌 경우를 원하므로, 전체 81개에서 $A$ 또는 $B$가 공집합인 경우를 제외해야 합니다.

• $A = \emptyset$인 경우: 각 원소는 $B$에 속하거나 속하지 않으므로, $B$가 될 수 있는 부분집합은 $2^4 = 16$개 입니다. (순서쌍 $(\emptyset, B)$의 개수)
• $B = \emptyset$인 경우: 마찬가지로, $A$가 될 수 있는 부분집합은 $2^4 = 16$개 입니다. (순서쌍 $(A, \emptyset)$의 개수)

여기서 순서쌍 $(\emptyset, \emptyset)$은 두 경우에 모두 포함되었으므로, $A$ 또는 $B$가 공집합인 순서쌍의 개수는 $16 + 16 – 1 = 31$개 입니다.

따라서, $A \neq \emptyset$이고 $B \neq \emptyset$이며 $A \cap B = \emptyset$인 순서쌍 $(A, B)$의 개수는,

$81 – 31 = 50$개

문제에서는 순서가 없는 ‘두 사건의 선택’이므로, 순서쌍 $(A, B)$와 $(B, A)$는 같은 경우로 취급해야 합니다. $A$와 $B$는 공집합이 아니고 서로소이므로 $A \neq B$가 항상 성립합니다. 따라서 50개의 순서쌍은 정확히 2개씩 짝을 이룹니다.

$$\text{배반사건인 경우의 수} = \frac{50}{2} = 25$$

3. 최종 확률 계산

전체 경우의 수와 배반사건인 경우의 수를 이용하여 확률을 계산합니다.

$$P(\text{배반사건}) = \frac{\text{배반사건인 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{25}{105} = \frac{5}{21}$$

답: 두 사건이 서로 배반사건일 확률은 $\frac{5}{21}$ 입니다.