문제 10번 풀이

이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 주어진 조건들을 만족시키는 공비와 첫째항을 구한 뒤, 등비수열의 합에 대한 부등식을 풀어 해를 찾는 문제입니다.

1단계: 공비(r) 구하기

먼저 주어진 등식을 간단히 하여 공비 r을 구합니다. 등비수열 {a_n}의 첫째항을 a, 공비를 r이라고 하면 a_n = ar^n-1 입니다. 주어진 등식의 각 항은 다음과 같이 간단하게 표현할 수 있습니다.

• a₂/a₁ = r
• a₂/a₃ = 1/r

이러한 규칙이 반복되므로, 주어진 등식은 다음과 같이 정리됩니다.

위 식을 풀면, r + 1/r = 17/4 입니다.

양변에 4r을 곱하여 이차방정식으로 만듭니다.

이 식을 정리하면 다음과 같습니다.

따라서 r = 1/4 또는 r = 4 입니다. 문제의 조건에서 공비가 1보다 크다고 했으므로 (r>1), r=4 입니다.

2단계: 첫째항(a) 구하기

이제 공비 r=4와 a₄=3이라는 조건을 이용하여 첫째항 a를 구합니다.

따라서 첫째항 a = 3/64 입니다.

3단계: 부등식 풀기

이제 등비수열의 합 S_n이 4¹²보다 커지는 최소의 자연수 n을 찾습니다. 등비수열의 합 공식은 S_n = a(rⁿ-1)/(r-1) 입니다.

이제 부등식 S_n > 4¹²을 풉니다.

양변에 64를 곱하고, 64 = 4³을 이용하면,

이 부등식을 만족시키는 가장 작은 자연수 n을 찾아야 합니다.

• 만약 n=15라면, 4¹⁵ > 4¹⁵ + 1 이 되어 부등식이 성립하지 않습니다.
• 만약 n=16이라면, 4¹⁶ > 4¹⁵ + 1 이 됩니다. 4¹⁶은 4 · 4¹⁵와 같으므로, 이는 명백히 참입니다.

따라서 부등식을 만족시키는 최소의 자연수 n은 16 입니다.