쎈 공통수학1-0040번: 다항식의 방정식 만족시키기
안녕하세요! 오늘은 쎈 공통수학Ⅰ (2022 개정) 유형 01의 대표 문제인 0040번을 함께 정복해 보겠습니다. 다항식의 덧셈과 뺄셈 원리를 이용하여 미지의 다항식 $X$를 찾아내는 기초적이면서도 중요한 문제입니다.
[문제 0040]
두 다항식 $A = 2x^2 – 4xy + 6y^2$, $B = -x^2 + 2xy + 4y^2$에 대하여 $$2X – B = A – 5B$$ 를 만족시키는 다항식 $X$는?1. 풀이에 필요한 핵심 개념 및 힌트
다항식 연산에서 계산 실수를 줄이기 위해서는 ‘식의 간소화’가 최우선입니다.
- 이항 정리: 미지 다항식 $X$를 구하기 위해, 주어진 식을 $X$에 관한 형태로 먼저 변형하세요.
- 대입의 타이밍: 식을 최대한 정리한 후 마지막 단계에서 $A$와 $B$를 대입하는 것이 연산 오류를 줄이는 비결입니다.
- 분배법칙 주의: 괄호 앞에 음수(-)가 있을 때 각 항의 부호를 정확히 반전시키는 것이 핵심입니다.
💡 핵심 힌트: $2X – B = A – 5B$에서 양변에 $B$를 더하면 $2X = A – 4B$가 됩니다. 이제 양변을 2로 나누어 $X$의 설계도를 먼저 만드세요!
2. 단계별 상세 풀이 과정
단계 1: $X$에 대한 식 정리하기
주어진 관계식을 이항하여 정리합니다.
$$2X = A – 5B + B$$ $$2X = A – 4B$$ 따라서, $$X = \frac{1}{2}A – 2B \quad \cdots (\text{ㄱ})$$단계 2: 다항식 $A$와 $B$ 대입하기
식 (ㄱ)에 문제의 다항식을 대입합니다.
$$X = \frac{1}{2}(2x^2 – 4xy + 6y^2) – 2(-x^2 + 2xy + 4y^2)$$단계 3: 괄호 풀기 및 동류항 계산
상수배를 분배하여 괄호를 제거합니다.
$$X = (x^2 – 2xy + 3y^2) + (2x^2 – 4xy – 8y^2)$$ 동류항끼리 묶어서 최종 계산을 수행합니다.- $x^2$ 항: $x^2 + 2x^2 = 3x^2$
- $xy$ 항: $-2xy – 4xy = -6xy$
- $y^2$ 항: $3y^2 – 8y^2 = -5y^2$
정답: ③
3. 자주 틀리는 포인트 및 실수를 줄이는 꿀팁
| 구분 | 흔한 실수 사례 | 방지 팁 |
|---|---|---|
| 부호 계산 | $-2B$ 계산 시 괄호 안의 모든 항에 마이너스를 적용하지 않음 | 괄호 앞에 음수가 보이면 ‘부호 반전’부터 표시하세요. |
| 계수 연산 | $\frac{1}{2}A$를 할 때 일부 항만 2로 나누는 경우 | 분배법칙은 모든 항에 평등하게 적용되어야 합니다. |
| 동류항 정리 | $xy$항과 $y^2$항을 혼동하여 합산함 | 계산 시 같은 차수와 문자 아래에 밑줄을 그어가며 진행하세요. |
전문가 제언: 이 문제는 ‘다항식의 방정식’ 문제입니다. $X$를 정리하지 않고 $A, B$를 먼저 대입하면 식이 2배 이상 길어져 실수가 나올 확률이 매우 높습니다. 정리 후 대입! 이 순서만 지켜도 오답률이 절반으로 줄어듭니다.
더 알아보기: 이 문제가 이해되었다면, 다음 단계인 0041번 문제를 통해 세 다항식의 복합 연산에도 도전해 보세요!
⚠️ 저작권 안내 및 이용 주의사항
- 본 블로그에 게시된 모든 자료(답지 및 해설)의 저작권은 해당 교재의 출판사에 있습니다.
- 자료는 오직 학생들의 채점, 오답 정리, 자기주도 학습용으로만 활용해 주시기 바랍니다.
- 제공된 파일을 상업적으로 이용하거나, 타 사이트에 무단 배포하여 발생하는 모든 법적 책임은 이용자 본인에게 있습니다.
- 저작권 관련 문제가 있거나 삭제를 원하시는 출판사 관계자분께서는 [leinbow@gmail.com]로 연락 주시면 즉시 조치하겠습니다.