쎈 고등수학(상) 답지 0159번

항등식의 계수 비교법 – 대표 문제

유형 01 | 개념 02-1, 2 | B단계 유형 뽀개기

제목: 쎈 고등수학(상) 답지 0159번 항등식 계수비교법 대표문제

태그: #쎈고등수학상 #0159번 #항등식 #계수비교법 #미정계수법 #다항식전개 #B단계유형뽀개기 #대표문제 #고1수학

[문제] 쎈 고등수학(상) 0159번 (대표 문제)

모든 실수 x에 대하여 등식

x³ + ax² – 36 = (x + c)(x² + bx – 12)

가 성립한다. 이때 상수 a, b, c에 대하여 a + b + c의 값은?

① 10    ② 12    ③ 14    ④ 16    ⑤ 18

💡 핵심 키워드 발견!

“모든 실수 x에 대하여” ← 이 표현이 보이면 100% 항등식이에요!

항등식이면 양변의 같은 차수의 계수가 모두 같아야 해요.

즉, x³의 계수, x²의 계수, x의 계수, 상수항을 각각 비교하면 됩니다!

STEP 1  우변을 전개해요

우변 (x + c)(x² + bx – 12)를 분배법칙으로 전개하면:

= x · x² + x · bx + x · (–12) + c · x² + c · bx + c · (–12)

= x³ + bx² – 12x + cx² + bcx – 12c

같은 차수끼리 정리하면:

= x³ + (b + c)x² + (bc – 12)x – 12c

STEP 2  양변의 계수를 비교해요

좌변과 우변을 나란히 놓아볼게요:

⚠️ 여기가 가장 많이 틀리는 포인트!

좌변에서 x항이 보이지 않죠? 이건 x의 계수가 0이라는 뜻이에요!

“없는 항 = 계수가 0”  이것을 놓치면 방정식을 세울 수 없어요.

이 실수 하나 때문에 문제를 통째로 틀리는 학생이 정말 많답니다!

STEP 3  방정식을 풀어요 (가장 쉬운 것부터!)

❶ 상수항 비교:  –36 = –12c  →  c = 3

❷ x항 계수 비교:  0 = bc – 12  →  b × 3 = 12  →  b = 4

❸ x²항 계수 비교:  a = b + c = 4 + 3  →  a = 7

STEP 4  최종 답 구하기

a + b + c = 7 + 4 + 3 = 14

→ 정답: ③

🎯 계수 비교법 vs 수치 대입법 – 언제 뭘 쓸까?

계수 비교법: 한 쪽이 이미 전개된 형태일 때, 또는 다항식의 차수가 낮을 때 유리해요.

수치 대입법: 양변 모두 인수분해 형태이거나, 대입하면 많은 항이 0이 되는 “좋은 수”가 보일 때 유리해요.

이 문제(0159)는 좌변이 전개된 형태이므로 계수 비교법이 더 적합해요!

🚀 시간을 줄이려면?

1. 우변 전개를 손으로 5번 이상 연습해서 속도를 높이세요. 분배법칙은 반복이 왕이에요!

2. “없는 항 = 계수 0” 을 자동 반사적으로 떠올리는 습관을 만드세요.

3. 상수항처럼 미지수가 하나뿐인 식을 먼저 풀면 연쇄적으로 나머지가 빠르게 풀려요.

4. 유사 문제(0160~0165)를 반복 풀이하면 패턴이 몸에 배서 시험장에서 자동으로 풀려요!

① “모든 실수 x에 대하여” → 항등식 → 계수 비교법

② 우변 전개: x³ + (b+c)x² + (bc–12)x – 12c

③ 상수항: –36 = –12c → c = 3

④ x항: 0 = bc – 12 → b = 4

⑤ x²항: a = b + c = 7

→ a + b + c = 7 + 4 + 3 = 14  (정답 ③)