C단계 고난도 · 교육청 기출 🔥 고난도
📘 0266번 — P(x)Q(x) 인수조건 + 항등식 — P(2)+Q(8) (교육청 기출)
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
삼차다항식 P(x)와 일차다항식 Q(x)에서 P(x)Q(x)는 (x²−3x+3)(x−1)로 나누어떨어지고, x³−10x+13−P(x)={Q(x)}²이 모든 실수에서 성립하며 Q(0)<0일 때, P(2)+Q(8)을 구하는 문제
삼차다항식 P(x)와 일차다항식 Q(x)에서 P(x)Q(x)는 (x²−3x+3)(x−1)로 나누어떨어지고, x³−10x+13−P(x)={Q(x)}²이 모든 실수에서 성립하며 Q(0)<0일 때, P(2)+Q(8)을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
P(x)Q(x)가 (x²−3x+3)(x−1)로 나누어떨어짐 → P(1)Q(1)=0. 경우 ①x−1|P(x), ②x−1|Q(x) 분리! 항등식 조건으로 Q(x) 결정 후 Q(0)<0으로 선택
✏️ 단계별 풀이 설명
1
나누어떨어짐 조건 분석
P(x)Q(x)가 (x²−3x+3)(x−1)로 나누어떨어짐
x=1: P(1)Q(1)=0
→ 경우 A: x−1이 P(x)의 인수
→ 경우 B: x−1이 Q(x)의 인수 (Q는 일차이므로 Q(x)=x−1)
P(x)Q(x)가 (x²−3x+3)(x−1)로 나누어떨어짐
x=1: P(1)Q(1)=0
→ 경우 A: x−1이 P(x)의 인수
→ 경우 B: x−1이 Q(x)의 인수 (Q는 일차이므로 Q(x)=x−1)
2
경우 B 검토 — Q(x)=x−1
항등식: x³−10x+13−P(x)=(x−1)²
P(x)=x³−10x+13−(x−1)²=x³−x²−8x+12
= (x−2)²(x+3)
P(x)Q(x)=(x−2)²(x+3)(x−1)
→ x²−3x+3=(x−2)²+1… (x²−3x+3)의 인수 아님
→ 경우 B 불가
항등식: x³−10x+13−P(x)=(x−1)²
P(x)=x³−10x+13−(x−1)²=x³−x²−8x+12
= (x−2)²(x+3)
P(x)Q(x)=(x−2)²(x+3)(x−1)
→ x²−3x+3=(x−2)²+1… (x²−3x+3)의 인수 아님
→ 경우 B 불가
3
경우 A — x−1이 P(x)의 인수
P(1)=0 → P(x)=(x−1)R(x) (R은 이차)
항등식에서 Q(x)는 일차: Q(x)=ax+b
x³−10x+13−P(x)=(ax+b)²
최고차항: −1… 정리하면
P(x)=x³−10x+13−(ax+b)²
P(1)=0 → P(x)=(x−1)R(x) (R은 이차)
항등식에서 Q(x)는 일차: Q(x)=ax+b
x³−10x+13−P(x)=(ax+b)²
최고차항: −1… 정리하면
P(x)=x³−10x+13−(ax+b)²
4
계수 비교로 a, b 결정
P(1)=0: 1−10+13−(a+b)²=0
(a+b)²=4 → a+b=±2
P(x)의 최고차항 계수 1:
x³−(ax+b)² = x³−a²x²−… → a²=0이어야 x³ 계수 유지
→ Q(x)=2(x−2): P(x)=x³−10x+13−(2x−4)²=x³−4x²+6x−3…
최종: Q(x)=2(x−2), Q(0)=−4<0 ✓
P(1)=0: 1−10+13−(a+b)²=0
(a+b)²=4 → a+b=±2
P(x)의 최고차항 계수 1:
x³−(ax+b)² = x³−a²x²−… → a²=0이어야 x³ 계수 유지
→ Q(x)=2(x−2): P(x)=x³−10x+13−(2x−4)²=x³−4x²+6x−3…
최종: Q(x)=2(x−2), Q(0)=−4<0 ✓
5
P(2)+Q(8) 계산
P(x)=x³−10x+13−{Q(x)}²에서
x³−3x²… 풀이 영상 참고
P(2)=8−20+13−0=1… P(2)+Q(8)=1+12=13
P(x)=x³−10x+13−{Q(x)}²에서
x³−3x²… 풀이 영상 참고
P(2)=8−20+13−0=1… P(2)+Q(8)=1+12=13
정답: 13
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
P(x)Q(x) 인수조건 + 항등식: ①인수 배분 경우 분리 ②항등식 계수 비교로 P, Q 결정 ③부호 조건으로 경우 선택
⚠️ 이것만 조심하세요!
x−1이 P(x)의 인수인지 Q(x)의 인수인지 경우를 나누는 과정을 놓치거나, Q(0)<0 조건을 적용하지 못하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해가 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
7~8분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 형태나 보조식 설정 아이디어를 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
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🗺️ 추천 학습 순서
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🎯 마플시너지
기초부터 탄탄히 쌓아야 고난도가 보입니다. 연산 → 개념 → 마플시너지 순서로 체계적으로 도전하세요! 🚀