쎈 공통수학1 · 2단원 · C단계 고난도 — 항등식·나머지정리 심화 🔥 고난도
📘 0257번 — 항등식 계수의 합 — 수치 대입법
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 기본 개념을 완전히 익힌 후 도전하세요. 풀이 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 스스로 재현해 보는 것을 추천합니다.
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도 문제일수록 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 후, 스스로 재현해 보는 연습이 중요해요! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
(x²+3x)⁵−10=a₀+a₁x+⋯+a₁₀x¹⁰일 때, 4a₅−(a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀)의 값을 구하는 문제
(x²+3x)⁵−10=a₀+a₁x+⋯+a₁₀x¹⁰일 때, 4a₅−(a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀)의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
(x²+3x)⁵=x⁵(x+3)⁵ → x⁵ 미만 항은 모두 0! x=0 대입으로 a₀=−10, x=1 대입으로 전체 합 확인 후 4a₅ 추출
✏️ 단계별 풀이 설명
1
식 변환 — 공통인수 추출
(x²+3x)⁵ = {x(x+3)}⁵ = x⁵(x+3)⁵
→ x⁵ 미만 차수 항 없음!
따라서: a₁=a₂=a₃=a₄=0
(x²+3x)⁵ = {x(x+3)}⁵ = x⁵(x+3)⁵
→ x⁵ 미만 차수 항 없음!
따라서: a₁=a₂=a₃=a₄=0
2
x=0 대입 → a₀ 결정
(0+0)⁵−10 = a₀
→ a₀=−10
(0+0)⁵−10 = a₀
→ a₀=−10
3
a₅ 결정 — x⁵의 계수 추출
x⁵(x+3)⁵에서 x⁵ 항은 x⁵×3⁵
→ a₅=3⁵=243
x⁵(x+3)⁵에서 x⁵ 항은 x⁵×3⁵
→ a₅=3⁵=243
4
x=1 대입 — 전체 합 이용
x=1: (1+3)⁵−10 = a₀+a₁+⋯+a₁₀
4⁵−10 = −10+0+0+0+0+a₅+a₆+⋯+a₁₀
1024−10 = −10+a₅+(a₆+⋯+a₁₀)
a₅+(a₆+⋯+a₁₀) = 1024
x=1: (1+3)⁵−10 = a₀+a₁+⋯+a₁₀
4⁵−10 = −10+0+0+0+0+a₅+a₆+⋯+a₁₀
1024−10 = −10+a₅+(a₆+⋯+a₁₀)
a₅+(a₆+⋯+a₁₀) = 1024
5
목표 식 계산
4a₅−(a₆+⋯+a₁₀)
= 4a₅−(1024−a₅)
= 5a₅−1024
= 5×243−1024
= 1215−1024 = 191 → 정답 ②
4a₅−(a₆+⋯+a₁₀)
= 4a₅−(1024−a₅)
= 5a₅−1024
= 5×243−1024
= 1215−1024 = 191 → 정답 ②
정답: 191 (②)
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
고차 항등식 계수 문제: ①공통인수로 변환 ②저차 계수=0 인식 ③x=0,1 수치 대입으로 목표 식 분리
⚠️ 이것만 조심하세요!
(x²+3x)⁵=x⁵(x+3)⁵로 변환하는 것을 놓치거나, a₁~a₄=0임을 인식하지 못하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
고난도 문제는 시간이 더 걸립니다. 처음엔 시간 제한 없이 완전히 이해하는 것이 우선이에요!
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도 문제는 ‘조건을 하나씩 처리하는 순서’가 핵심! 가장 단순한 조건(x=0 대입, 수치 조건)으로 먼저 미정계수를 줄이고, 남은 조건으로 완성하세요.
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🎯 마플시너지 추천 문제
C단계 도전 전, 마플시너지로 B단계 심화를 완성하세요!
🗺️ 추천 학습 순서
✍️ 연산 워크시트
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📖 개념 포스트
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🎯 마플시너지
고난도 문제는 기초가 탄탄해야 합니다. 연산 → 개념 → 마플시너지 순서로 체계적으로 쌓아 올리세요! 🚀