쎈 공통수학1 · 2단원 · C단계 고난도 — 항등식·나머지정리 심화 🔥 고난도
📘 0256번 — 항등식 조건 만족하는 P(x)의 개수
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 기본 개념을 완전히 익힌 후 도전하세요. 풀이 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 뒤 스스로 재현해 보는 것을 추천합니다.
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도 문제일수록 영상을 먼저 보고 흐름을 파악한 후, 스스로 재현해 보는 연습이 중요해요! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
이차 이하의 다항식 P(x)에 대해 {P(x)}²=2P(x²)+8x²이 항등식일 때, P(x)의 개수를 구하는 문제
이차 이하의 다항식 P(x)에 대해 {P(x)}²=2P(x²)+8x²이 항등식일 때, P(x)의 개수를 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
P(x)=ax²+bx+c로 놓고 좌변 전개 → 우변과 계수 비교! a²=2a 조건에서 a=0 또는 a=2로 경우 분류
✏️ 단계별 풀이 설명
1
P(x) 일반형 설정 & 양변 전개
P(x) = ax²+bx+c로 놓으면
좌변: (ax²+bx+c)²
= a²x⁴+2abx³+(2ac+b²)x²+2bcx+c²
우변: 2P(x²)+8x²
= 2(ax⁴+bx²+c)+8x²
= 2ax⁴+(2b+8)x²+2c
P(x) = ax²+bx+c로 놓으면
좌변: (ax²+bx+c)²
= a²x⁴+2abx³+(2ac+b²)x²+2bcx+c²
우변: 2P(x²)+8x²
= 2(ax⁴+bx²+c)+8x²
= 2ax⁴+(2b+8)x²+2c
2
차수별 계수 비교
x⁴: a²=2a → a(a−2)=0 → a=0 또는 a=2
x³: 2ab=0
x²: 2ac+b²=2b+8
x¹: 2bc=0
x⁰: c²=2c → c(c−2)=0 → c=0 또는 c=2
x⁴: a²=2a → a(a−2)=0 → a=0 또는 a=2
x³: 2ab=0
x²: 2ac+b²=2b+8
x¹: 2bc=0
x⁰: c²=2c → c(c−2)=0 → c=0 또는 c=2
3
경우 1 — a=0일 때
2ab=0 자동 만족
x²: b²=2b+8 → b²−2b−8=0 → (b−4)(b+2)=0
→ b=4 또는 b=−2
2bc=0: b=4 또는 b=−2이면 c=0
→ P(x)=4x, P(x)=−2x (c=0)
2ab=0 자동 만족
x²: b²=2b+8 → b²−2b−8=0 → (b−4)(b+2)=0
→ b=4 또는 b=−2
2bc=0: b=4 또는 b=−2이면 c=0
→ P(x)=4x, P(x)=−2x (c=0)
4
경우 2 — a=2일 때
2ab=0 → b=0
c(c−2)=0 → c=0 또는 c=2
x²: 4c+0=2(0)+8 → 4c=8 → c=2
→ P(x)=2x²+2
2ab=0 → b=0
c(c−2)=0 → c=0 또는 c=2
x²: 4c+0=2(0)+8 → 4c=8 → c=2
→ P(x)=2x²+2
5
최종 답 — P(x) 목록
P(x)=4x, P(x)=−2x, P(x)=2x²+2
→ 총 3개
P(x)=4x, P(x)=−2x, P(x)=2x²+2
→ 총 3개
정답: 3
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
항등식 P(x) 결정: ①P(x)=ax²+bx+c 일반형 설정 ②양변 전개 ③차수별 계수 비교 ④경우 분류 ⑤각 경우 b,c 결정
⚠️ 이것만 조심하세요!
a=0인 경우와 a=2인 경우를 모두 나누어 조사하지 않거나, 각 경우에서 b, c 조건을 빠뜨리는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
고난도 문제는 시간이 더 걸립니다. 처음엔 시간 제한 없이 완전히 이해하는 것이 우선이에요!
🏫 내신 시험
6~7분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
4~5분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도 문제는 ‘조건을 하나씩 처리하는 순서’가 핵심! 가장 단순한 조건(x=0 대입, 수치 조건)으로 먼저 미정계수를 줄이고, 남은 조건으로 완성하세요.
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 다지기)
🎯 마플시너지 추천 문제
C단계 도전 전, 마플시너지로 B단계 심화를 완성하세요!
🗺️ 추천 학습 순서
✍️ 연산 워크시트
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📖 개념 포스트
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🎯 마플시너지
고난도 문제는 기초가 탄탄해야 합니다. 연산 → 개념 → 마플시너지 순서로 체계적으로 쌓아 올리세요! 🚀