쎈 공통수학1 · 2단원 · 항등식과 나머지정리
📘 0174번 — 변수 치환 후 짝수 차수 계수의 합
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
영상을 먼저 보고, 아래 풀이 설명과 함께 복습하면 효과가 2배예요! 😊
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
모든 실수 x에 대하여 x¹⁰+1=a₁₀(x+2)¹⁰+a₉(x+2)⁹+⋯+a₁(x+2)+a₀이 성립할 때, a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀의 값을 구하는 문제
모든 실수 x에 대하여 x¹⁰+1=a₁₀(x+2)¹⁰+a₉(x+2)⁹+⋯+a₁(x+2)+a₀이 성립할 때, a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀의 값을 구하는 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
(x+2)로 묶인 항등식에서 짝수 계수 합 → (x+2)=1일 때, (x+2)=−1일 때 대입, 즉 x=−1과 x=−3을 대입!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
치환 아이디어 파악
우변은 (x+2)의 거듭제곱으로 구성되어 있어요.
t = x+2로 치환해서 생각하면:
f(t) = a₁₀t¹⁰+a₉t⁹+⋯+a₁t+a₀
우변은 (x+2)의 거듭제곱으로 구성되어 있어요.
t = x+2로 치환해서 생각하면:
f(t) = a₁₀t¹⁰+a₉t⁹+⋯+a₁t+a₀
2
짝수 차수 합 공식 적용
짝수 차수 계수 합 = {f(1)+f(−1)}/2
t=1 → x=−1 대입
t=−1 → x=−3 대입
짝수 차수 계수 합 = {f(1)+f(−1)}/2
t=1 → x=−1 대입
t=−1 → x=−3 대입
3
x=−1 대입 (t=1에 해당)
좌변: (−1)¹⁰+1 = 1+1 = 2
우변: a₁₀+a₉+⋯+a₁+a₀ = 2 … ①
좌변: (−1)¹⁰+1 = 1+1 = 2
우변: a₁₀+a₉+⋯+a₁+a₀ = 2 … ①
4
x=−3 대입 (t=−1에 해당)
좌변: (−3)¹⁰+1 = 3¹⁰+1
우변: a₁₀−a₉+a₈−⋯−a₁+a₀ = 3¹⁰+1 … ②
좌변: (−3)¹⁰+1 = 3¹⁰+1
우변: a₁₀−a₉+a₈−⋯−a₁+a₀ = 3¹⁰+1 … ②
5
①+② 계산
①+②: 2(a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀) = 2+(3¹⁰+1) = 3¹⁰+3
3¹⁰=59049이므로
→ (59049+3)/2 = 29526
①+②: 2(a₁₀+a₈+a₆+a₄+a₂+a₀) = 2+(3¹⁰+1) = 3¹⁰+3
3¹⁰=59049이므로
→ (59049+3)/2 = 29526
정답: 29526
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
t=x+2로 치환해서 생각하면 짝수 차수 합={f(1)+f(−1)}/2, t=1→x=−1, t=−1→x=−3 대입
⚠️ 이것만 조심하세요!
x+2=1 → x=−1, x+2=−1 → x=−3을 대입해야 한다는 점을 파악하지 못하고 x=1, x=−1을 대입하는 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
시험장에서 이 문제를 만났을 때 아래 시간 안에 풀 수 있도록 연습하세요!
🏫 내신 시험
3~4분
계산 검토 시간 포함
📝 수능 시험
2~3분
패턴 암기로 시간 단축!
⚡ 시간 줄이는 법: x=0, x=1, x=−1 대입이 각각 “상수항”, “전체 합”, “교대 합”을 바로 주고, 변수 치환된 경우 치환값 기준으로 ±1 대입하는 것을 자동화하세요!
🖼️ 해설 이미지
📚 관련 개념 포스트
✍️ 연산 워크시트 (기초 연습)
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