0098번 – 세 다항식의 곱 전개식에서
모든 계수의 합 구하기
x=1 대입 꿀팁! 모든 계수의 합 = P(1)
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이 (서술형 배점 포함)
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 서술형 ✍️
세 다항식 A = x²+1, B = x²−3x+4, C = 2x²−x+2 에 대하여
(A+2B)(B+C)(C−A)의 전개식이
a₆x⁶ + a₅x⁵ + ⋯ + a₁x + a₀ 일 때,
a₀ + a₁ + ⋯ + a₅ + a₆의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ · 서술형 · 답: 30
① a₀+a₁+⋯+a₆ = 모든 계수의 합!
② 다항식의 모든 계수의 합 = x=1을 대입한 값!
③ P(x) = a₆x⁶+⋯+a₀ 이면 P(1) = a₆+a₅+⋯+a₀
④ 따라서 6차식을 전개할 필요 없이 x=1만 대입하면 끝!
💡 핵심: 전개하지 마세요! x=1 대입이 정답!
📝 단계별 상세 풀이
각 괄호 안의 식 정리하기
배점 40%A + 2B = (x²+1) + 2(x²−3x+4)
= x²+1 + 2x²−6x+8
= 3x²−6x+9
B + C = (x²−3x+4) + (2x²−x+2)
= 3x²−4x+6
C − A = (2x²−x+2) − (x²+1)
= x²−x+1
핵심 아이디어: P(1) = 계수의 합
배점 60%P(x) = (A+2B)(B+C)(C−A)라 하면
a₀+a₁+⋯+a₆ = P(1)
각 괄호에 x=1 대입:
A+2B에서: 3(1)²−6(1)+9 = 3−6+9 = 6
B+C에서: 3(1)²−4(1)+6 = 3−4+6 = 5
C−A에서: (1)²−(1)+1 = 1−1+1 = 1
∴ P(1) = 6 × 5 × 1 = 30
⚠️ 자주 틀리는 실수
6차식을 직접 전개하려는 실수!
(3x²−6x+9)(3x²−4x+6)(x²−x+1)을 풀어쓰면 시간이 엄청 걸려요!
“계수의 합” = x=1 대입이라는 꿀팁을 기억하세요!
A+2B 계산에서 2배를 잘못하는 실수!
2B = 2(x²−3x+4) = 2x²−6x+8 ✅
2B = 2x²−3x+4 ❌ (2를 첫 항에만 곱한 경우)
→ 분배법칙! 2를 모든 항에 곱해야 해요.
C−A에서 부호 실수!
C−A = (2x²−x+2) − (x²+1) = x²−x+1 ✅
C−A = x²−x+3 ❌ (2−1=1, 1이 맞아요!)
🧠 외워두면 좋은 패턴
모든 계수의 합 = P(1)
이유: x=1을 대입하면 aₙ·1ⁿ + ⋯ + a₁·1 + a₀ = aₙ+⋯+a₁+a₀
🔥 이 패턴 하나만 알면 복잡한 전개 없이 계수의 합을 바로 구해요!
• 모든 계수의 합: x=1 대입
• 상수항(a₀): x=0 대입
• 홀수 차수 계수의 합 − 짝수 차수 계수의 합: x=−1 대입
→ x에 특정 값을 넣으면 원하는 정보가 바로 나와요!
1단계: 각 괄호 안의 식 정리 (A+2B, B+C, C−A 등)
2단계: “모든 계수의 합 = P(1)” 근거 제시
3단계: x=1 대입하여 각 값 계산 → 곱하기
→ 서술형에서 “P(1) = 계수의 합” 근거를 반드시 써야 감점을 안 당해요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1분 | 1분 |
① “계수의 합” 키워드를 보면 즉시 x=1!
문제를 읽자마자 “x=1 대입”을 떠올리면 시간이 크게 절약돼요.
② 각 괄호를 정리하지 않고 바로 x=1 대입도 가능!
A(1)=2, B(1)=2, C(1)=3 → (A+2B)(1)=2+4=6, (B+C)(1)=2+3=5, (C−A)(1)=3−2=1
이렇게 하면 전개 없이 30초만에 끝!
📸 해설 이미지
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