0095번 – 정육면체에서 직육면체 구멍을
뚫은 입체도형의 부피
정육면체 부피 − 구멍 부피 → 곱셈 공식으로 전개 후 정리!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
한 모서리의 길이가 x+2인 정육면체의 각 면의 한가운데에
밑면의 가로, 세로의 길이, 높이가 각각 x, x, x+2인
직육면체 모양으로 구멍을 뚫은 것이다. 이 입체도형의 부피는?
① 12x+8 ② 12x+12 ③ 16x−8
④ x²+8 ⑤ x²+12x+8
※ 구멍의 각 모서리와 정육면체의 모서리는 평행 · 답: ① 12x+8
① 정육면체에 3방향(가로, 세로, 높이)으로 구멍을 뚫어요!
② 각 구멍의 크기: x × x × (x+2) — 높이는 정육면체 모서리와 같음
③ 3개의 구멍은 중심에서 겹쳐요! → 포함-배제 원리 필요
💡 핵심: 부피 = (정육면체)³ − 3(구멍) + 2(겹치는 중심 x³)
📝 단계별 상세 풀이
부피 식 세우기 (포함-배제 원리)
구하는 부피:
(x+2)³ − 3·x²(x+2) + 2x³
• (x+2)³ : 정육면체 전체
• −3·x²(x+2) : 3방향 구멍(각각 x×x×(x+2))
• +2x³ : 중심 겹침 보정(x³이 3번 빠지니 2번 돌려줌)
각 항 전개하기
(x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
3x²(x+2) = 3x³ + 6x²
전체 계산
(x³ + 6x² + 12x + 8) − (3x³ + 6x²) + 2x³
= x³ + 6x² + 12x + 8 − 3x³ − 6x² + 2x³
x³항: 1 − 3 + 2 = 0
x²항: 6 − 6 = 0
x항: 12x
상수: 8
= 12x + 8
3차식에서 출발했지만 x³, x² 항이 모두 상쇄! 도형 문제에서 답이 복잡하면 계산을 의심해 보세요.
⚠️ 자주 틀리는 실수
구멍이 겹치는 부분을 무시하는 실수!
3방향 구멍을 빼면 중심의 x³이 3번 빠져요!
실제로 1번만 빼야 하니까 +2x³으로 보정 필수!
(x+2)³ 전개 실수!
(x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 ✅
(x+2)³ = x³ + 3x² + 6x + 8 ❌
→ 3·x²·2 = 6x², 3·x·4 = 12x 계수에 주의!
x³ 계수 정리에서 부호 실수!
1 − 3 + 2 = 0 ✅ 1 − 3 + 2 = −4 ❌
🧠 외워두면 좋은 패턴
→ 3번 빼고 2번 더하면 = 실제 1번만 뺀 효과!
(x+2)³ = x³ + 3·2·x² + 3·4·x + 8 = x³+6x²+12x+8
→ 계수 1, 6, 12, 8 을 외우면 빠릅니다!
도형 문제에서 부피, 넓이는 보통 깔끔한 결과가 나와요.
x³, x² 항이 남으면 → 계산 실수를 의심하세요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① 포함-배제 공식을 즉시 세우세요!
“정육면체−3구멍+2중심” 공식을 기억하면 식 세우기가 30초!
② (x+2)³ 전개를 외워두세요!
x³+6x²+12x+8 — 자주 나오는 패턴!
📸 해설 이미지
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