0094번 – 직육면체의 부피 다항식에서
높이 구하기 (다항식 나눗셈)
부피 = 가로 × 세로 × 높이 → 높이 = 부피 ÷ (가로 × 세로)
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
밑면의 가로의 길이가 a−2, 세로의 길이가 a+3인 직육면체의
부피가 a³+5a²−2a−24일 때,
이 직육면체의 높이를 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (중상) · 답: a+4
① 부피 = 가로 × 세로 × 높이
② 높이 = 부피 ÷ (가로 × 세로) = (a³+5a²−2a−24) ÷ {(a−2)(a+3)}
③ 먼저 밑면의 넓이 (a−2)(a+3)을 계산한 후 → 다항식 나눗셈!
💡 핵심: 도형 문제인데 사실상 다항식 나눗셈 문제!
📝 단계별 상세 풀이
밑면의 넓이 구하기
밑면의 넓이 = (a−2)(a+3)
= a² + 3a − 2a − 6
= a² + a − 6
높이 = 부피 ÷ 밑면의 넓이
높이를 A라 하면:
(a−2)(a+3) · A = a³+5a²−2a−24
∴ A = (a³+5a²−2a−24) ÷ (a²+a−6)
다항식 나눗셈 실행
a³+5a²−2a−24 를 a²+a−6 으로 나눕니다.
① a³ ÷ a² = a
a(a²+a−6) = a³+a²−6a
빼기: (a³+5a²−2a−24)−(a³+a²−6a)
= 4a²+4a−24
② 4a² ÷ a² = 4
4(a²+a−6) = 4a²+4a−24
빼기: (4a²+4a−24)−(4a²+4a−24)
= 0 (나누어떨어짐!)
💡 나머지가 0! 깔끔하게 나누어떨어져요.
높이 결정
(a³+5a²−2a−24) ÷ (a²+a−6) = a+4
따라서 직육면체의 높이는 a+4
⚠️ 자주 틀리는 실수
밑면 넓이 계산에서 부호 실수!
(a−2)(a+3) = a²+3a−2a−6 = a²+a−6 ✅
(a−2)(a+3) = a²−a−6 ❌ (부호 주의!)
나눗셈에서 −6a를 빼는 과정에서 실수!
(−2a) − (−6a) = −2a+6a = +4a ✅
(−2a) − (−6a) = −8a ❌
부피를 (가로 × 세로)로 나눠야 하는데 가로만으로 나누는 실수!
높이 = 부피 ÷ (가로 × 세로) ✅
높이 = 부피 ÷ 가로 ❌
→ 반드시 밑면의 넓이(= 가로 × 세로)로 나눠야 해요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
넓이 또는 부피가 다항식으로 주어지고, 일부 변을 알 때:
→ 결국 다항식 나눗셈으로 귀결돼요!
가로, 세로가 각각 주어지면:
1단계: 밑면 넓이 = 가로 × 세로 (곱셈 먼저!)
2단계: 높이 = 부피 ÷ 밑면 넓이 (나눗셈)
→ 곱셈 → 나눗셈 순서로 진행하면 정확해요.
도형 문제에서 나눗셈하면 보통 나누어떨어져요.
만약 나머지가 0이 아니면 → 어딘가 계산 실수가 있는 것!
→ 나머지 = 0 여부로 검산할 수 있어요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 2분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
① 밑면 넓이 계산은 암산으로!
(a−2)(a+3) = a²+a−6은 빠르게 계산 가능해요.
② 나눗셈 2단계면 끝!
3차÷2차=1차이므로 몫은 “a+?” 형태. 나눗셈이 2단계면 끝나요.
③ 나머지가 0인지 확인해서 검산!
나머지가 0이면 정확하게 풀은 것!
📸 해설 이미지
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