0090번 – xP(x)를 x+½으로 나눈
몫과 나머지 구하기
P(x)에 x를 곱한 뒤 나누는 식을 변환! 0087~0088번의 종합 응용
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 P(x)를 2x+1로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 할 때,
xP(x)를 x+½로 나누었을 때의 몫과 나머지를 차례대로 나열한 것은?
① xQ(x)+R, −½R ② xQ(x)+R, ½R
③ 2xQ(x)+R, −½R ④ 2xQ(x)+R, ½R
⑤ 2xQ(x)+R, 2R
※ 난이도: ★★☆ (상) · 답: ③ 2xQ(x)+R, −½R
이 문제에는 두 가지 변환이 동시에 일어나요!
① 나누는 식 변환: 2x+1 → x+½ (0087~0088번 패턴!)
② 피제식 변환: P(x) → xP(x) (양변에 x를 곱함!)
두 변환을 순서대로 처리하면 풀려요!
💡 핵심: 나눗셈 등식 양변에 x 곱하기 + 나누는 식 변환 = 2단계!
이 문제는 0087번(나누는 식의 상수배 변환)과 0088번(일반 공식)을 종합하고, 여기에 “xP(x)”라는 새로운 요소가 추가된 문제예요. 등식을 차분히 변형하면 어렵지 않습니다!
📝 단계별 상세 풀이
출발 등식 세우기
P(x)를 2x+1로 나누면:
P(x) = (2x+1)Q(x) + R … ⓐ
양변에 x 곱하기
ⓐ의 양변에 x를 곱하면:
xP(x) = x(2x+1)Q(x) + Rx
💡 P(x) → xP(x)로 바꾸려면 양변에 x를 곱하면 돼요!
2x+1 = 2(x+½) 관계 이용하기
x(2x+1) = x · 2(x+½) = 2x(x+½)
따라서:
xP(x) = 2x(x+½)Q(x) + Rx
= (x+½) · 2xQ(x) + Rx
💡 (x+½)로 나누는 형태가 보이기 시작해요! 하지만 Rx도 정리해야 해요.
Rx를 (x+½) 형태로 정리하기
Rx = R(x+½) − ½R
검산: R(x+½)−½R = Rx+½R−½R = Rx ✅
이것을 대입하면:
xP(x) = (x+½) · 2xQ(x) + R(x+½) − ½R
= (x+½){2xQ(x) + R} − ½R
💡 Rx = R(x+½)−½R 로 쪼개서, (x+½) 부분은 몫으로, 상수는 나머지로!
몫과 나머지 읽기
xP(x) = (x+½) · {2xQ(x)+R} + (−½R)
따라서 xP(x)를 x+½로 나누었을 때:
몫: 2xQ(x) + R
나머지: −½R
⚠️ 자주 틀리는 실수
Rx를 그냥 나머지로 두는 실수!
Rx는 x가 포함된 1차식이므로 상수가 아니에요!
(x+½)로 나눈 나머지는 상수여야 하므로 Rx를 더 정리해야 합니다.
→ Rx = R(x+½) − ½R 로 쪼개기!
나머지 부호를 틀리는 실수!
Rx = R(x+½) − ½R ✅
Rx = R(x+½) + ½R ❌
→ R·½ − ½R = 0이 되어야 Rx가 성립! 부호는 빼기(−)예요.
x(2x+1)에서 2를 빼먹는 실수!
x(2x+1) = 2x(x+½) ✅ (2가 남아요!)
x(2x+1) = x(x+½) ❌
→ 2x+1 = 2(x+½)이므로, x를 곱하면 2x(x+½)!
🧠 외워두면 좋은 패턴
P(x) = (나누는 식)Q(x) + R 에서
양변에 x를 곱하면:
xP(x) = x·(나누는 식)·Q(x) + Rx
이때 Rx도 나누는 식으로 정리해야 진짜 몫과 나머지가 나와요!
🔥 핵심 스킬: “남은 항(Rx)을 나누는 식으로 쪼개기”
Rx = R(x+α) − Rα
이렇게 쪼개면:
R(x+α) 부분 → 몫에 합쳐짐
−Rα 부분 → 나머지가 됨
→ 이 문제에서 α = ½이므로: Rx = R(x+½) − ½R
1단계: 양변에 x 곱하기
2단계: 나누는 식 변환 (2x+1 → x+½)
3단계: 남은 Rx를 (x+½)로 정리
→ 각 단계를 차분히 수행하면 실수 없이 풀 수 있어요!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 30초 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① 등식 변형의 흐름을 외워두세요!
P(x)=(2x+1)Q(x)+R → xP(x)=2x(x+½)Q(x)+Rx → (x+½) 묶기 → 끝!
② “Rx를 쪼개야 한다”는 것을 잊지 마세요!
Rx가 남으면 “이것도 (x+½)로 정리해야지”를 바로 떠올리세요.
③ 보기를 활용하세요!
몫에 2xQ(x)가 있는 보기(③④⑤)만 집중하고, 나머지 부호로 최종 결정!
📸 해설 이미지
교재 해설을 이미지로 확인하세요.
📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트나눗셈 등식의 기본기를 다지세요!
공통수학1 연산 10. 나머지 정리 ⭐ 공통수학1 연산 12. 조립제법 공통수학1 연산 11. 인수 정리 공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1) 공통수학1 연산 04. 다항식의 곱셈 (2)개념을 확실히 잡고 가세요!
개념사전 012. 다항식 나눗셈과 등식 ⭐ (핵심!) 개념사전 011. 다항식÷다항식 계산 개념사전 016. 나머지정리 이해 개념사전 017. 인수정리 활용 개념사전 018. 조립제법 계산유사 문제로 실력을 굳히세요!
마플시너지 공수1 – 01-4. 다항식의 나눗셈 ⭐ 마플시너지 공수1 – 01-3. 곱셈 공식의 변형 마플시너지 공수1 – 01-2. 곱셈 공식을 이용한 전개