0086번 – x²−x−1=0일 때
다항식의 값 구하기
나눗셈 등식 A = BQ + R 을 활용한 다항식 값 계산!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
x² − x − 1 = 0 일 때, 2x⁴ − x³ − 6x² + 2x + 5 의 값은?
① −1 ② 0 ③ 1 ④ 2 ⑤ 3
※ 난이도: ★★☆ (상) · 답: ④ 2
① x²−x−1 = 0 이라는 조건이 주어져 있어요!
② 구해야 하는 식은 4차식인데, 조건은 2차식이에요.
③ 핵심 아이디어: 4차식을 x²−x−1로 나누면?
→ 4차식 = (x²−x−1) × Q(x) + R
→ x²−x−1 = 0 이면 → 값 = 0 × Q(x) + R = R
💡 나머지만 구하면 끝! 나눗셈 등식의 아름다운 활용!
f(x) = 0인 조건에서 g(x)의 값을 구하라면?
g(x)를 f(x)로 나누면: g(x) = f(x) · Q(x) + R
f(x) = 0이므로: g(x) = 0 · Q(x) + R = R (나머지!)
→ 복잡한 다항식의 값이 단순한 “나머지”로 바뀐다!
📝 단계별 상세 풀이
핵심 전략 파악
x²−x−1 = 0 이므로,
2x⁴−x³−6x²+2x+5 를 x²−x−1로 나누면
2x⁴−x³−6x²+2x+5 = (x²−x−1) · Q(x) + R
x²−x−1 = 0을 대입하면:
값 = 0 · Q(x) + R = R (나머지)
💡 나눗셈만 정확히 하면 바로 답이 나와요!
나눗셈 실행하기
2x⁴ − x³ − 6x² + 2x + 5 를 x² − x − 1 로 나눕니다.
① 2x⁴ ÷ x² = 2x²
2x²(x²−x−1) = 2x⁴−2x³−2x²
빼기: (2x⁴−x³−6x²+2x+5) − (2x⁴−2x³−2x²)
= x³ − 4x² + 2x + 5
② x³ ÷ x² = x
x(x²−x−1) = x³−x²−x
빼기: (x³−4x²+2x+5) − (x³−x²−x)
= −3x² + 3x + 5
③ −3x² ÷ x² = −3
−3(x²−x−1) = −3x²+3x+3
빼기: (−3x²+3x+5) − (−3x²+3x+3)
= 2
결과 정리
2x⁴−x³−6x²+2x+5 = (x²−x−1)(2x²+x−3) + 2
x²−x−1 = 0 이므로:
값 = 0 × (2x²+x−3) + 2 = 2
⚠️ 자주 틀리는 실수
x²=x+1을 대입해서 직접 계산하려는 실수!
x²−x−1=0에서 x²=x+1을 구하고 x⁴, x³ 등에 반복 대입할 수도 있지만…
→ 계산이 복잡하고, 실수할 확률이 높아요! 나눗셈이 훨씬 안전합니다.
나눗셈 중 부호 실수!
2x²(x²−x−1) = 2x⁴ −2x³ −2x² ← 부호 주의!
특히 −1에 2x²를 곱한 −2x²를 놓치기 쉬워요.
“나머지 = 답” 이라는 것을 잊는 실수!
나눗셈까지 잘 해놓고 몫 (2x²+x−3)을 답이라고 쓰면 안 돼요!
나머지인 2가 답입니다!
🧠 외워두면 좋은 패턴
f(x) = 0인 조건에서 g(x)의 값을 구하라면:
g(x) ÷ f(x) 의 나머지 = 답!
🔥 이 패턴은 시험에 정말 자주 나와요! “~=0일 때 …의 값”이 보이면 바로 나눗셈!
① 조건식 확인: f(x) = 0 (예: x²−x−1=0)
② 나눗셈 실행: g(x) = f(x)·Q(x) + R
③ f(x) = 0 대입: g(x) = 0·Q(x) + R = R
→ 이 3단계만 기억하면 돼요!
대입법 (x²=x+1 반복 대입):
→ 차수가 낮을 때(3차까지)는 괜찮지만, 4차 이상이면 복잡해요.
나눗셈법 (이 풀이 방법):
→ 차수가 높아도 깔끔! 특히 4차 이상에서는 나눗셈이 훨씬 유리해요.
→ 4차 이상 = 나눗셈, 3차 이하 = 대입 or 나눗셈 둘 다 OK!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 30초 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① “~=0일 때 …의 값” → 즉시 나눗셈 모드!
문제 유형을 보자마자 “조건식으로 나누자”를 떠올리면 방향 잡는 시간이 0초!
② 나눗셈은 최고차항에만 집중!
각 단계에서 최고차항끼리 나누고 → 곱하고 → 빼기. 이 루틴을 빠르게!
③ 나머지가 상수인지 확인!
2차식으로 나누면 나머지는 1차 이하. 이 문제에서는 깔끔하게 상수 2가 나왔어요.
📸 해설 이미지
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📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트나눗셈 연산력을 키우세요!
공통수학1 연산 10. 나머지 정리 ⭐ 공통수학1 연산 12. 조립제법 공통수학1 연산 11. 인수 정리 공통수학1 연산 07. 곱셈 공식의 변형 공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1)개념을 확실히 잡고 가세요!
개념사전 012. 다항식 나눗셈과 등식 ⭐ (이 문제 핵심!) 개념사전 011. 다항식÷다항식 계산 개념사전 016. 나머지정리 이해 개념사전 009. 곱셈공식의 변형 활용 개념사전 018. 조립제법 계산유사 문제로 실력을 굳히세요!
마플시너지 공수1 – 01-4. 다항식의 나눗셈 ⭐ 마플시너지 공수1 – 01-3. 곱셈 공식의 변형 마플시너지 공수1 – 01-2. 곱셈 공식을 이용한 전개