0075번 – 곱셈 공식을 이용한
수의 계산
9×11×101×10001 = ? 합차 공식의 연쇄 적용!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다음 중 9 × 11 × 101 × 10001을 계산한 값과 같은 것은?
① 10⁶+1 ② 10⁸−1 ③ 10⁸+1 ④ 10¹⁰−1 ⑤ 10¹⁰+1
※ 난이도: ★☆☆ (중) · 대표 문제 · 답: ② 10⁸−1
이 문제의 단서를 찾아볼게요!
① 9 = 10−1, 11 = 10+1 → 합차 공식 (a−b)(a+b) = a²−b² 의 냄새가 나죠!
② 101 = 10²+1, 10001 = 10⁴+1 → 계속해서 “제곱+1” 형태예요!
③ 보기가 모두 10의 거듭제곱 ± 1 형태 → 합차 공식을 연쇄적으로 적용해서 10의 거듭제곱으로 만들어야 해요!
💡 핵심 아이디어: (a−1)(a+1) = a²−1 을 반복 적용! 제곱이 계속 올라갑니다!
이 문제는 합차 공식 (a−b)(a+b) = a²−b²를 여러 번 연속으로 적용하는 아름다운 문제예요. 숫자가 크다고 겁먹지 마세요! 10을 기준으로 분해하면 마법처럼 깔끔하게 정리됩니다.
📝 단계별 상세 풀이
각 수를 10의 거듭제곱으로 표현하기
9 = 10 − 1
11 = 10 + 1
101 = 10² + 1
10001 = 10⁴ + 1
💡 모든 수가 10의 거듭제곱 ± 1 형태로 예쁘게 분해돼요!
앞에서부터 두 개씩 묶어서 합차 공식 적용!
9 × 11 = (10−1)(10+1) = 10² − 1 = 99
→ 합차 공식 1차 적용! a²−b² 형태가 됐어요.
결과에 101을 곱하기
(10²−1) × (10²+1)
= (10²)² − 1²
= 10⁴ − 1
→ 합차 공식 2차 적용! 제곱이 2→4로 올라갔어요!
마지막으로 10001을 곱하기
(10⁴−1) × (10⁴+1)
= (10⁴)² − 1²
= 10⁸ − 1
→ 합차 공식 3차 적용! 제곱이 4→8로! 완성!
⚠️ 자주 틀리는 실수
직접 곱셈하려는 실수!
9 × 11 × 101 × 10001 = ??? 이렇게 직접 계산하면 시간이 엄청 걸리고 실수 확률도 높아요.
→ 보기가 10의 거듭제곱 형태라면 반드시 곱셈 공식을 사용하세요!
지수 계산 실수!
(10²)² = 10⁴ ✅ (10²)² = 10² ❌
(10⁴)² = 10⁸ ✅ (10⁴)² = 10⁶ ❌
→ (aⁿ)ᵐ = aⁿˣᵐ 이에요! 지수끼리 곱해야 합니다!
10001을 10³+1로 잘못 분해!
10001 = 10⁴ + 1 ✅ (10000 + 1)
10001 = 10³ + 1 ❌ (이러면 1001이 됨)
🧠 외워두면 좋은 패턴
(a−1)(a+1)(a²+1)(a⁴+1)… 이런 형태가 보이면:
→ 앞 두 개: (a−1)(a+1) = a²−1
→ 다음: (a²−1)(a²+1) = a⁴−1
→ 다음: (a⁴−1)(a⁴+1) = a⁸−1
🔥 지수가 1→2→4→8→… 로 2배씩 커집니다! (도미노처럼 연쇄!)
시험에 자주 등장하는 분해를 외워두세요:
9 = 10−1, 11 = 10+1
99 = 10²−1, 101 = 10²+1
9999 = 10⁴−1, 10001 = 10⁴+1
99999999 = 10⁸−1
→ 9가 반복되면 “10ⁿ−1″이고, 1000…1이면 “10ⁿ+1”!
만약 (a+1)(a²+1)(a⁴+1) 처럼 (a−1)이 없다면?
→ 양변에 (a−1)을 곱하고 나중에 나누기!
→ (a−1)을 “보조 도구”로 곱해주는 테크닉은 0076번에서 나옵니다!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 3~4분 | 1분 | 1분 |
| 수능/모의고사 | 2~3분 | 30초~1분 | 30초 |
① 패턴 인식이 전부!
(10−1)(10+1)(10²+1)(10⁴+1) 패턴을 보는 순간 “합차 연쇄” 임을 인식하면 끝이에요. 인식 = 풀이 완료!
② 지수 추적만 하세요!
중간 계산을 다 쓸 필요 없이 지수만 추적하면 됩니다: 1→2→4→8. 답은 10⁸−1!
③ 검산은 끝자리 확인!
9×11=99, 99×101=9999… 끝자리가 9로만 이루어지는지 확인하면 빠르게 검증 가능!
📸 해설 이미지
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