0074번 – 곱셈 공식의 변형
a²+b²+c²−ab−bc−ca 값 구하기
두 수의 차 조건으로 세 변수 대칭식 계산하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
두 조건이 주어져 있을 때:
a − b = 4, b − c = −1
a² + b² + c² − ab − bc − ca 의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (상) · 답: 13
이 문제에서 핵심 단서를 찾아볼게요!
① 조건이 “a−b”와 “b−c” 형태 → 두 수의 차가 주어져 있어요!
② 구해야 하는 식이 a²+b²+c² − ab−bc−ca → 이것은 유명한 변형 공식이 있어요!
③ 핵심 공식: a²+b²+c² − ab−bc−ca = ½{(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²}
💡 조건이 “차”의 형태로 주어졌고, 구하는 식도 “차의 제곱”으로 변환된다! 완벽한 매칭!
이 문제의 매력은 복잡해 보이는 식이 아주 깔끔한 공식 하나로 해결된다는 점이에요. “a²+b²+c²−ab−bc−ca”라는 식을 보면 바로 “차의 제곱의 합”으로 변환할 수 있다는 것을 알면, 이 문제는 30초 만에 풀 수 있습니다!
📝 단계별 상세 풀이
c − a 의 값 구하기
a − b = 4, b − c = −1
두 식을 변끼리 더하면:
(a − b) + (b − c) = 4 + (−1)
a − c = 3
∴ c − a = −3
💡 두 조건을 더하면 세 번째 차도 자동으로 구해져요!
핵심 공식 적용하기
핵심 변형 공식:
a²+b²+c² − ab−bc−ca = ½{(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²}
※ 이 공식이 왜 성립하는지 확인해 볼까요?
(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²
= a²−2ab+b² + b²−2bc+c² + c²−2ca+a²
= 2a²+2b²+2c² − 2ab−2bc−2ca
= 2(a²+b²+c² − ab−bc−ca) → 양변을 2로 나누면 공식 완성!
값 대입하여 계산
a²+b²+c² − ab−bc−ca
= ½{(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²}
= ½{4² + (−1)² + (−3)²}
= ½{16 + 1 + 9}
= ½ × 26
= 13
⚠️ 자주 틀리는 실수
c−a 의 부호 실수!
a − c = 3 이므로 c − a = −3 ✅
c − a = 3 ❌
→ 부호를 뒤집어야 해요! a−c=3이면 c−a=−3입니다.
½ 을 빠뜨리는 실수!
a²+b²+c²−ab−bc−ca = ½{(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²} ✅
a²+b²+c²−ab−bc−ca = (a−b)²+(b−c)²+(c−a)² ❌ (½이 빠짐!)
→ 이 공식에서 ½이 가장 자주 빠뜨리는 부분이에요!
(−1)² = 1, (−3)² = 9 를 잘못 계산!
음수의 제곱은 항상 양수! (−1)² = 1, (−3)² = 9
→ 제곱하면 부호가 사라진다는 것을 확인하세요.
🧠 외워두면 좋은 패턴
a²+b²+c² − ab−bc−ca = ½{(a−b)² + (b−c)² + (c−a)²}
🔥 이 공식은 “두 수의 차”가 조건으로 주어질 때 빛을 발해요!
→ a²+b²+c²−ab−bc−ca 를 보면 반사적으로 이 공식을 떠올리세요!
a−b, b−c가 주어지면 → a−c = (a−b) + (b−c)
→ 두 등식을 변끼리 더하면 나머지 하나도 자동으로 구해집니다!
→ 또한 (a−b) + (b−c) + (c−a) = 0 임을 확인할 수 있어요. (검산에 유용!)
0072번에서 배운 공식을 기억하세요:
a³+b³+c³ − 3abc = (a+b+c)(a²+b²+c²−ab−bc−ca)
→ 오늘 배운 a²+b²+c²−ab−bc−ca는 이 공식의 뒷부분에 해당해요! 나중에 연결될 일이 많습니다.
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 4~5분 | 1~2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 3~4분 | 1분 | 1분 |
① 공식을 보는 순간 바로 적용!
“a²+b²+c²−ab−bc−ca” → 즉시 “½{차의 제곱의 합}” 이 반사적으로 나와야 해요. 공식 인식이 가장 큰 시간 절약 포인트입니다.
② c−a를 한 줄로!
a−b=4, b−c=−1 → a−c=3 → c−a=−3 이 과정을 머릿속에서 바로 처리하세요.
③ 제곱 계산은 빠르게!
4²=16, (−1)²=1, (−3)²=9 → 합 26 → ½ × 26 = 13. 암산으로 끝낼 수 있는 수준이에요!
📸 해설 이미지
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