0071번 – 곱셈 공식의 변형
a²+b²+c², 1/a+1/b+1/c 값 구하기
세 수의 합·제곱합·곱 조건에서 역수의 합 구하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
세 수 a, b, c에 대해 다음 세 조건이 주어져 있을 때:
a + b + c = 3, a² + b² + c² = 15, abc = −1
1/a + 1/b + 1/c 의 값은?
※ 난이도: ★★☆ (중) · 대표 문제 · 답: ③ 3
이 문제에서 꼭 잡아야 할 단서 3가지!
① 세 조건이 모두 대칭식 → a+b+c, a²+b²+c², abc가 주어졌으므로 ab+bc+ca를 구하면 모든 대칭식을 처리할 수 있어요.
② 1/a + 1/b + 1/c는 통분하면 (ab+bc+ca) / abc로 변환돼요!
③ (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) 공식으로 ab+bc+ca를 바로 구할 수 있어요.
이 문제는 유형 07 (곱셈 공식의 변형)의 대표 문제입니다. “세 수의 합, 제곱합, 곱”이 동시에 주어지면, ab+bc+ca를 먼저 구하는 것이 핵심 전략이에요. 한번 익혀두면 같은 유형을 1분 안에 풀 수 있습니다!
📝 단계별 상세 풀이
ab + bc + ca 구하기
핵심 공식: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
양변에 값을 대입하면:
3² = 15 + 2(ab + bc + ca)
9 = 15 + 2(ab + bc + ca)
2(ab + bc + ca) = 9 − 15 = −6
∴ ab + bc + ca = −3
💡 이 한 단계가 이 문제의 핵심이에요! (a+b+c)²을 전개하는 공식 하나로 끝!
1/a + 1/b + 1/c 를 통분하여 변환하기
1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab) / abc
→ 통분하면 분자에는 ab+bc+ca가, 분모에는 abc가 들어갑니다!
값 대입하여 계산하기
1/a + 1/b + 1/c = (ab + bc + ca) / abc
= (−3) / (−1)
= 3
⚠️ 자주 틀리는 실수
(a+b+c)² 전개 공식을 잘못 쓰는 경우!
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca) ✅
(a+b+c)² = a²+b²+c² + ab+bc+ca ❌ (2가 빠짐!)
1/a + 1/b + 1/c 통분 실수!
분자가 ab + bc + ca 인데, a+b+c로 잘못 쓰는 학생이 있어요.
→ 직접 통분해 보면: 1/a + 1/b + 1/c = (bc + ac + ab) / (abc) 입니다!
부호 실수!
abc = −1 이므로 (−3)÷(−1) = 3 (양수)입니다.
→ 음수÷음수 = 양수! 부호를 꼼꼼히 확인하세요.
🧠 외워두면 좋은 패턴
세 수 a, b, c에 대한 모든 대칭식은 다음 3개로 표현됩니다:
① a + b + c ② ab + bc + ca ③ abc
→ 이 세 값만 알면 어떤 대칭식이든 구할 수 있어요!
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)
→ ab+bc+ca = {(a+b+c)² − (a²+b²+c²)} / 2
→ “합의 제곱에서 제곱의 합을 빼고 2로 나누면 짝지어 곱한 합”
1/a + 1/b + 1/c = (ab + bc + ca) / abc
1/a² + 1/b² + 1/c² = (a²b² + b²c² + c²a²) / (abc)²
→ 역수의 합은 항상 통분해서 대칭식으로 바꾸는 것이 정석!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 3~4분 | 1~2분 | 1분 30초 |
| 수능/모의고사 | 2~3분 | 1분 | 1분 |
① “세 조건 = 세 대칭식” 패턴을 인식하세요!
a+b+c, a²+b²+c², abc가 보이는 순간 “ab+bc+ca부터 구한다”는 경로가 자동으로 떠올라야 해요.
② 역수의 합 → 통분은 반사적으로!
1/a + 1/b + 1/c = (ab+bc+ca)/abc 이 공식은 외워서 바로 쓸 수 있도록 연습하세요.
③ 계산 순서를 정해놓으세요!
이 유형은 항상 (a+b+c)² 전개 → ab+bc+ca 구하기 → 원하는 식에 대입 순서로 풀면 됩니다.
📸 해설 이미지
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