0070번 – 곱셈공식 변형
x³ + 1/x³ 활용 문제
x² − 1/x² 조건에서 복잡한 식의 값 구하기
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
양수 x에 대해 x² − 1/x² = −4√2 일 때,
(x⁶ + 2x⁴ + 2x² + 1) / x³ 의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★☆ (중상) · 서술형 아님 · 답: 14√2
이 문제에서 가장 중요한 단서는 “양수 x”와 “x² − 1/x²” 형태입니다!
① 양수 x → x + 1/x > 0 이므로 부호 판단이 가능해요.
② x² − 1/x² = (x + 1/x)(x − 1/x) 로 분해할 수 있어요.
③ 구하려는 식이 x의 거듭제곱을 x³으로 나눈 형태 → x + 1/x 꼴로 바꿀 수 있다는 신호!
이 문제는 곱셈공식의 변형 유형 중에서도 x + 1/x를 하나의 덩어리로 놓고 풀어야 하는 문제예요. 복잡해 보이지만 핵심 아이디어 하나만 잡으면 술술 풀립니다!
📝 단계별 상세 풀이
주어진 식을 x³으로 나누어 정리하기
(x⁶ + 2x⁴ + 2x² + 1) / x³
= x⁶/x³ + 2x⁴/x³ + 2x²/x³ + 1/x³
= x³ + 2x + 2/x + 1/x³
이것을 다시 묶으면:
= (x³ + 1/x³) + 2(x + 1/x) ……①
💡 분자의 각 항을 x³으로 하나씩 나누면 x + 1/x 꼴이 보여요!
x + 1/x 의 값 구하기
조건: x² − 1/x² = −4√2
핵심 분해: x² − 1/x² = (x + 1/x)(x − 1/x) = −4√2
x + 1/x = t (t > 0, ∵ x > 0) 로 놓으면
(x − 1/x)² = (x + 1/x)² − 4 = t² − 4
x − 1/x = −4√2 / t 이므로
(−4√2 / t)² = t² − 4
32/t² = t² − 4
양변에 t²을 곱하면: 32 = t⁴ − 4t²
t⁴ − 4t² − 32 = 0
t²에 대한 이차방정식으로 보면:
(t² − 8)(t² + 4) = 0
t² = 8 (∵ t²+4=0은 실수 해 없음)
∴ t = x + 1/x = 2√2 (∵ t > 0)
x³ + 1/x³ 의 값 구하기
세제곱의 합 공식을 활용합니다:
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
= (2√2)³ − 3·(2√2)
= 8·2√2 − 6√2
= 16√2 − 6√2
= 10√2
💡 (2√2)³ = 2³ · (√2)³ = 8 · 2√2 = 16√2 이에요!
①에 대입하여 최종 답 구하기
(x³ + 1/x³) + 2(x + 1/x)
= 10√2 + 2 · 2√2
= 10√2 + 4√2
= 14√2
⚠️ 자주 틀리는 실수
(2√2)³ 계산 실수!
(2√2)³ ≠ 6√2 ❌
(2√2)³ = 2³ × (√2)³ = 8 × 2√2 = 16√2 ✅
→ 거듭제곱을 밑과 루트 부분으로 분리해서 각각 계산하세요!
x + 1/x 의 부호 판단 누락!
t² = 8에서 t = ±2√2인데, “양수 x” 조건을 놓치면 −2√2로 잘못 선택할 수 있어요.
→ AM-GM 부등식에 의해 양수 x일 때 x + 1/x ≥ 2 > 0 이므로 반드시 양수!
x³ + 1/x³ 공식 혼동!
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) ✅
x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x) ✅
→ 부호와 계수 3을 정확히 기억하세요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
(x + 1/x)² = x² + 2 + 1/x²
→ x² + 1/x² = (x + 1/x)² − 2
(x − 1/x)² = x² − 2 + 1/x²
→ x² + 1/x² = (x − 1/x)² + 2
x² − 1/x² = (x + 1/x)(x − 1/x)
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x)
x³ − 1/x³ = (x − 1/x)³ + 3(x − 1/x)
→ “삼세빼삼” = 세제곱 − 3배 (합일 때) 로 기억하면 편해요!
분자의 차수가 분모보다 높은 분수식이 나오면
분모로 각 항을 나누어 x + 1/x 꼴로 변환할 수 있는지 먼저 확인!
예: (x⁶ + … + 1)/x³ → x³ + … + 1/x³ 형태
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2~3분 | 2분 |
① x + 1/x 꼴 인식을 자동화하세요!
분수식이 나오면 “x + 1/x로 바꿀 수 있나?”를 가장 먼저 확인하는 습관을 들이면, 풀이 방향을 잡는 시간이 크게 줄어요.
② 공식을 손에 익혀두세요!
x³ + 1/x³ = (x + 1/x)³ − 3(x + 1/x) 이 공식을 머릿속에서 바로 꺼낼 수 있어야 시간을 아낄 수 있습니다.
③ (a√b)ⁿ 계산을 빠르게!
(2√2)³ 같은 계산을 곧바로 16√2라고 나올 수 있도록 연습하세요. 거듭제곱 계산에서 시간을 뺏기는 학생이 많아요.
📸 해설 이미지
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📚 추천 학습 순서
1단계: 연산 워크시트기본 연산력부터 탄탄하게!
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