쎈 공통수학1 0050번 풀이
다항식 (1+x+2x²+⋯+100x¹⁰⁰)²의 전개식에서 x³의 계수
유형 02 · 전개식에서 계수 구하기 난이도 ⭐중📋 이 포스팅에 포함된 내용
- 풀이 영상 (동영상 해설)
- 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
- 문제 분석 및 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 꿀팁: 외워두면 좋은 패턴
- 흔한 실수 & 주의사항
- 시간 관리 전략
- 관련 개념 및 추천 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 전체 흐름을 파악하고, 아래 상세 풀이로 복습하면 효과적이에요!
🔍 문제 분석 — 단서 찾기
[문제 요약]
다항식 (1 + x + 2x² + ⋯ + 100x¹⁰⁰)²의 전개식에서 x³의 계수를 구하시오.
다항식 (1 + x + 2x² + ⋯ + 100x¹⁰⁰)²의 전개식에서 x³의 계수를 구하시오.
🔑 핵심 단서 포인트
1
제곱 형태! — (식)²은 (식) × (식)과 같아요. 같은 다항식 두 개를 곱하는 거예요.
2
x³의 계수만 구하면 돼! — 전체를 전개할 필요 없이, 곱해서 x³이 되는 항의 조합만 찾으면 됩니다.
3
각 항의 계수 규칙 파악! — xⁿ의 계수가 n이에요. 단, 상수항(x⁰)의 계수는 1이에요.
📝 단계별 상세 풀이
Step 1. 같은 식을 두 번 곱하는 구조 파악
(1 + x + 2x² + 3x³ + ⋯)²
= (1 + x + 2x² + 3x³ + ⋯) × (1 + x + 2x² + 3x³ + ⋯)
= (1 + x + 2x² + 3x³ + ⋯) × (1 + x + 2x² + 3x³ + ⋯)
두 식에서 각각 하나씩 항을 골라 곱했을 때, 결과가 x³이 되는 경우만 모으면 돼요!
Step 2. x³이 되는 조합 찾기
앞의 식에서 xᵃ, 뒤의 식에서 xᵇ를 골랐을 때, a + b = 3이면 x³이 만들어져요.
| 앞의 식에서 | 뒤의 식에서 | 곱한 결과 |
|---|---|---|
| 1 (계수 1) | 3x³ (계수 3) | 1 × 3 = 3 |
| x (계수 1) | 2x² (계수 2) | 1 × 2 = 2 |
| 2x² (계수 2) | x (계수 1) | 2 × 1 = 2 |
| 3x³ (계수 3) | 1 (계수 1) | 3 × 1 = 3 |
Step 3. 계수 합산
x³의 계수 = 3 + 2 + 2 + 3 = 10
✨ 정답: 10
📸 해설 이미지 (쎈 공통수학1 답지)
아래 이미지에서 0050번 풀이를 직접 확인해 보세요.
🍯 꿀팁 & 외워두면 좋은 패턴
두 다항식 곱에서 특정 차수의 계수 구하기
f(x) × g(x)의 전개식에서 xⁿ의 계수:
→ f(x)의 xᵏ항 계수 × g(x)의 xⁿ⁻ᵏ항 계수를 k = 0부터 n까지 모두 더한다!
🔥 (같은 식)²일 때: 대칭이므로 반만 구해서 2배 해도 OK! (단, 가운데 항 주의)
차수의 합이 목표 차수가 되는 쌍을 찾자!
xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ이므로, a + b = (목표 차수)가 되는 모든 조합을 빠짐없이 찾는 것이 핵심!
이 문제에서 계수 규칙 빠르게 읽기
상수항(x⁰) → 계수 1 (0이 아님에 주의!)
x¹ → 계수 1, x² → 계수 2, x³ → 계수 3 …
⚠️ 흔한 실수 & 주의사항
실수 1: 조합을 빠뜨리는 경우
x⁰ × x³과 x³ × x⁰은 서로 다른 조합이에요! 둘 다 포함해야 해요.
실수 2: 상수항의 계수를 0으로 착각
“xⁿ의 계수 = n” 규칙을 보고 상수항 계수를 0으로 쓰면 안 돼요! 맨 앞의 1이 상수항이에요.
실수 3: 전체를 다 전개하려는 시도
101개 항의 다항식을 전부 전개하는 건 불가능! x³이 되는 조합만 골라서 계산하세요.
⏱️ 시간 관리 전략
목표 풀이 시간
내신 시험: 2~3분
수능/모의고사: 1~2분
시간을 줄이려면?
1
“차수의 합” 사고법 훈련: “a + b = 3이 되는 쌍” → (0,3), (1,2), (2,1), (3,0) 즉시 나열하는 연습!
2
계수 규칙 즉시 파악: 문제를 읽자마자 “각 항의 계수가 뭔지” 캐치하는 연습!
3
유사 문제 반복: 아래 연산 워크시트로 비슷한 유형 10문제 이상 풀어보세요.
📚 더 공부하기 — 추천 순서
📝 연산 워크시트 (기초 다지기)
공통수학1 연산 03. 다항식의 곱셈 (1) 공통수학1 연산 04. 다항식의 곱셈 (2) 공통수학1 연산 05. 곱셈 공식 (1) 공통수학1 연산 06. 곱셈 공식 (2)📖 관련 개념 포스트
개념사전 001. 다항식의 기본 용어 개념사전 005. 지수의 법칙 개념사전 006. 식 전개하기 개념사전 007. 다항식 곱셈의 연산법칙 개념사전 008. 곱셈공식 정리 개념사전 009. 곱셈공식의 변형 활용🚀 마플시너지 공통수학1 (심화 도전)
마플시너지 0073번 | 다항식 곱셈 완벽정리 마플시너지 097번 | 항등식 계수비교 마플시너지 0058번 | 항등식 특수값 대입 빠른풀이 마플시너지 098번 | 부정계수법 다항식나눗셈
💪 “차수의 합 = 목표 차수” 조합만 찾으면 되는 간단한 패턴이에요!
연산 워크시트로 비슷한 문제를 여러 번 풀어보면 금방 익숙해질 거예요. 화이팅! 🎯