0108번 – 반원 위의 점 P에서
S₁−S₂ 조건으로 AB 길이 구하기
히포크라테스의 초승달 + 곱셈공식 변형 = 도형 완전 정복!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요!
🔍 문제 분석
[문제 요약] – 교육청 기출 🏫
선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 Q라 하고, 선분 AQ와 선분 QB를 지름으로 하는 반원을 각각 그린다.
호 AB, 호 AQ 및 호 QB로 둘러싸인 초승달 모양 도형의 넓이를 S₁,
선분 PQ를 지름으로 하는 반원의 넓이를 S₂라 하자.
AQ − QB = 8√3이고 S₁ − S₂ = 2π일 때,
선분 AB의 길이를 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 14쪽 유형 05 + 19쪽 유형 12 · 답: 16
① AQ = x, QB = y로 놓으면 AB = x + y
② S₁(초승달) = π/4 · xy → 히포크라테스의 초승달 넓이 공식!
③ PQ² = AQ · QB = xy (반원 위 수선의 발 → 닮음 비례)
④ S₂ = π/8 · xy → S₁ − S₂ = π/8 · xy = 2π → xy = 16
⑤ x − y = 8√3, xy = 16 → (x+y)² = (x−y)² + 4xy = 192+64 = 256
💡 핵심: xy와 x−y로 x+y를 구하는 곱셈공식 변형!
📝 단계별 상세 풀이
S₁(초승달 넓이) 구하기
AQ = x, QB = y로 놓으면
큰 반원 넓이 = ½π((x+y)/2)²
작은 반원 2개 넓이 = ½π(x/2)² + ½π(y/2)²
S₁ = 큰 반원 − 작은 반원 2개
= ½π · (x+y)²/4 − ½π · x²/4 − ½π · y²/4
= π/8 · {(x+y)² − x² − y²}
= π/8 · 2xy = π/4 · xy
💡 초승달 넓이가 π/4·xy로 정리! 아주 깔끔한 결과!
S₂(PQ 반원 넓이) 구하기
△PAQ ∼ △QPB (AA 닮음) → PQ² = AQ · QB = xy
S₂ = ½π · (PQ/2)² = ½π · PQ²/4 = π/8 · xy
S₁ − S₂에서 xy 구하기
S₁ − S₂ = π/4 · xy − π/8 · xy = π/8 · xy
π/8 · xy = 2π
xy = 16
x + y(= AB) 구하기
조건: x − y = 8√3, xy = 16
(x+y)² = (x−y)² + 4xy
= (8√3)² + 4·16
= 192 + 64 = 256
x+y > 0이므로 x+y = √256 = 16
∴ AB = x + y = 16
⚠️ 자주 틀리는 실수
반원의 반지름을 잘못 설정!
AB를 지름으로 하는 반원의 반지름 = (x+y)/2 ✅
AQ를 지름으로 하는 반원의 반지름 = x/2 ✅
반지름과 지름을 혼동하면 넓이가 4배 차이!
PQ² = xy 임을 모르는 실수!
반원의 지름 위 점에서 원 위의 점으로 내린 수선 → PQ² = AQ · QB
이것은 “원에서의 멱(power)” 또는 닮음 비례에서 나오는 중요한 성질!
(8√3)² 계산 실수!
(8√3)² = 64 × 3 = 192 ✅
(8√3)² = 8² × √3 = 64√3 ❌ (제곱은 √3도 함께!)
🧠 외워두면 좋은 패턴
큰 반원 − 작은 반원 2개를 계산하면 xy에 비례하는 깔끔한 결과!
🔥 이 공식은 교육청·수능 기출에서 반복적으로 출제!
지름 위의 점 Q에서 반원 위의 점 P까지의 수선:
이유: △PAQ ∼ △QPB (AA 닮음) → PQ/AQ = QB/PQ
x−y와 xy가 주어지면 → x+y를 바로 구할 수 있어요!
→ 이 공식은 0096번에서도 썼던 핵심 도구!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 7~8분 | 3~4분 | 3분 |
| 수능/모의고사 | 5~6분 | 3분 | 2분 30초 |
① S₁ = π/4·xy 공식을 외워두세요!
초승달 넓이 공식을 외우면 Step 1 전체를 건너뛸 수 있어요.
② PQ² = xy를 바로 쓰세요!
닮음을 증명하지 않고 결과만 사용하면 빠릅니다.
③ (x+y)² = (x−y)²+4xy → 한 줄로 끝!
= 192+64 = 256 → x+y = 16 → 30초면 완성!
📸 해설 이미지
교재 해설을 이미지로 확인하세요.
