0105번 – (x²+x+2)³을 x²+1로
나눈 나머지 R(x)에서 R(5) 구하기
나눗셈의 나머지 → “나누는 식을 묶어라!” 치환 전략!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 2개 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
두 가지 풀이 영상을 준비했어요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
다항식 (x²+x+2)³을 x²+1로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때,
R(5)의 값은?
① −8 ② −4 ③ 4 ④ 8 ⑤ 12
※ 난이도: ★★★ (상) · 13쪽 유형 03 + 17쪽 유형 09 · 답: ④ 8
① x²+x+2 를 나누는 식 x²+1 을 이용해 분리!
② x²+x+2 = (x²+1) + (x+1) → 나누는 식 + 나머지
③ x²+1 = A로 놓으면 → x²+x+2 = A + (x+1)
④ (A+(x+1))³ 전개 → A가 포함된 항은 나누어 떨어지고 나머지는 (x+1)³!
⑤ (x+1)³을 x²+1로 나눈 나머지가 최종 R(x)!
💡 핵심: 나누는 식을 묶어서 치환! 나머지 부분만 다시 나누기!
📝 단계별 상세 풀이
나누는 식으로 묶기 (치환)
x²+x+2 = (x²+1) + (x+1)
x²+1 = A로 놓으면:
x²+x+2 = A + (x+1) → A + B (B = x+1)
💡 “나누는 식”을 빼내면 나머지 구조가 드러나요!
(A+B)³ 전개
(x²+x+2)³ = (A+B)³
= A³ + 3A²B + 3AB² + B³
A가 포함된 항(A³, 3A²B, 3AB²)은 모두 x²+1의 배수!
→ x²+1로 나누면 나누어떨어짐
따라서 나머지는 B³ = (x+1)³을 x²+1로 나눈 나머지와 같다!
(x+1)³을 x²+1로 나누기
(x+1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
x²+1로 나눗셈:
(x³+3x²+3x+1) ÷ (x²+1)
= (x²+1)(x+3) + (2x−2)
검산: (x²+1)(x+3) = x³+3x²+x+3 → 빼면 (3x+1)−(x+3) = 2x−2 ✅
R(5) 계산
R(x) = 2x − 2
R(5) = 2(5) − 2 = 10 − 2 = 8
⚠️ 자주 틀리는 실수
(x²+x+2)³을 직접 전개하려는 실수!
6차식을 직접 전개하면 시간도 오래 걸리고 실수도 많아요.
반드시 나누는 식(x²+1)으로 묶어서 치환하세요!
x²+x+2 = (x²+1) + (x+1) 분리를 못 하는 실수!
“나누는 식” 부분을 빼내는 발상이 핵심! 연습이 필요해요.
(x+1)³을 x²+1로 나눌 때 나눗셈 실수!
(x³+3x²+3x+1) ÷ (x²+1) → 몫: x+3, 나머지: 2x−2 ✅
나머지를 2x+2로 계산하면 ❌ → 부호 확인 꼭 하세요!
🧠 외워두면 좋은 패턴
f(x)ⁿ을 g(x)로 나눈 나머지를 구할 때:
→ f(x)ⁿ = (g(x)+r(x))ⁿ → g(x) 포함 항은 나누어떨어짐
→ 나머지 = r(x)ⁿ을 g(x)로 나눈 나머지!
🔥 차수를 확 낮출 수 있는 강력한 기법!
(A+B)³ = A³+3A²B+3AB²+B³
A가 있는 항은 모두 A(=나누는 식)의 배수 → 나머지에 기여 안 함!
나머지 결정 = B³ 부분만!
(피제식) = (제식) × (몫) + (나머지)
x³+3x²+3x+1 = (x²+1)(x+3) + (2x−2)
오른쪽을 전개해서 왼쪽과 일치하는지 확인!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① “나누는 식 묶기”를 즉시 실행!
x²+x+2 = (x²+1)+(x+1) → 이 분리가 바로 되면 30초 절약!
② (x+1)³ 전개를 외워두세요!
= x³+3x²+3x+1 → 계수 1, 3, 3, 1 은 파스칼의 삼각형!
📸 해설 이미지
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