0102번 – 무리수 조건의 두 식에서
x³+y³ 값 구하기
“변끼리 곱하고, 변끼리 더하고” → xy, x+y 한 방에!
이 포스팅에 포함된 것들
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지 (쎈 답지)
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 상세 풀이
- 자주 틀리는 실수 & 꿀팁
- 외워두면 좋은 패턴 정리
- 시간 관리 전략
- 관련 개념·연산·마플시너지 링크
🎬 풀이 영상
영상으로 먼저 풀이 흐름을 파악해 보세요!
🔍 문제 분석
[문제 요약]
0이 아닌 두 실수 x, y에 대하여
x + 1/y = 4 + 2√3
y + 1/x = 4 − 2√3
일 때, x³+y³의 값을 구하시오.
※ 난이도: ★★★ (상) · 14쪽 유형 05 · 답: 52
① 두 식의 우변이 4+2√3과 4−2√3 → 합하면 무리수 소거!
② 변끼리 곱하면: (x+1/y)(y+1/x) → xy와 1/(xy) 관계
③ 변끼리 더하면: (x+y) + (1/x+1/y) → x+y 관계
④ xy와 x+y를 알면 → x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)!
💡 핵심: 두 식을 곱하고 더해서 xy, x+y를 구한 뒤 세제곱 합 공식!
📝 단계별 상세 풀이
두 식을 변끼리 곱하기 → xy 구하기
(x + 1/y)(y + 1/x)
= xy + x·(1/x) + (1/y)·y + 1/(xy)
= xy + 1 + 1 + 1/(xy)
= xy + 1/(xy) + 2
우변: (4+2√3)(4−2√3) = 16 − 12 = 4
따라서: xy + 1/(xy) + 2 = 4
xy + 1/(xy) = 2
xy = t로 놓으면: t + 1/t = 2
t² − 2t + 1 = 0 → (t−1)² = 0 → t = 1
∴ xy = 1
💡 (4+2√3)(4−2√3) = 4²−(2√3)² = 16−12 = 4 → 합차 공식!
두 식을 변끼리 더하기 → x+y 구하기
(x + 1/y) + (y + 1/x) = (4+2√3) + (4−2√3)
(x+y) + (1/x + 1/y) = 8
1/x + 1/y = (x+y)/(xy) = (x+y)/1 = x+y
(∵ xy = 1)
따라서: (x+y) + (x+y) = 8
2(x+y) = 8
∴ x+y = 4
💡 무리수 부분 ±2√3이 상쇄! 더하면 깔끔하게 8!
x³+y³ 구하기
x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y)
= 4³ − 3·1·4
= 64 − 12
= 52
⚠️ 자주 틀리는 실수
(x+1/y)(y+1/x) 전개 실수!
= xy + 1 + 1 + 1/(xy) = xy + 1/(xy) + 2 ✅
= xy + 1/(xy) ❌ (가운데 항 x·(1/x)=1과 (1/y)·y=1을 빼먹음!)
1/x + 1/y 처리 실수!
1/x + 1/y = (x+y)/(xy) ✅
xy = 1이므로 (x+y)/1 = x+y ✅
xy=1을 빼먹고 복잡하게 계산하면 시간 낭비!
x³+y³ 공식 부호 실수!
x³+y³ = (x+y)³ − 3xy(x+y) ✅
x³+y³ = (x+y)³ − 2xy(x+y) ❌ (x²+y² 공식과 혼동!)
→ x²+y² = (x+y)²−2xy vs x³+y³ = (x+y)³−3xy(x+y)
🧠 외워두면 좋은 패턴
두 식이 주어졌을 때:
곱하기 → xy(또는 xy 관련식) 구하기
더하기 → x+y(또는 합 관련식) 구하기
t + 1/t = 2 → t² − 2t + 1 = 0 → (t−1)² = 0 → t = 1
🔥 이 패턴은 시험에서 정말 자주 나와요! AM-GM 부등식에서도 등호 조건!
(4+2√3)(4−2√3) = 4² − (2√3)² = 16 − 12 = 4
a+b√n 과 a−b√n 형태의 곱 → 무리수 소거!
⏱️ 시간 관리 전략
| 시험 유형 | 처음 풀 때 | 익숙해진 후 | 목표 시간 |
|---|---|---|---|
| 내신 시험 | 5~6분 | 2~3분 | 2분 |
| 수능/모의고사 | 4~5분 | 2분 | 1분 30초 |
① 우변이 a±b√n 형태 → 곱과 합을 바로 계산!
곱: (a+b√n)(a−b√n)=a²−nb², 합: 2a → 무리수 소거!
② xy=1을 먼저 구하면 이후 계산이 매우 간단!
1/x+1/y = (x+y)/1 = x+y로 바로 치환 가능!
📸 해설 이미지
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