역추론을 이용하여 $a_6, a_5, \dots, a_1$을 차례로 구해나갑니다.

$a_6$ 구하기:
$a_7=5$. $a_7 = \sqrt{a_6}$ 이려면 $a_6=25$여야 하고, 이때 $\log_2 25$는 자연수가 아니므로 이 경우는 성립하지 않습니다.
$a_7 = a_6+3$ 이므로 $a_6 = 5-3=2$ 입니다. 이는 ‘그 외’ 조건에 해당하므로 유일한 값입니다.

$a_5$ 구하기:
$a_6=2$. $a_6 = \sqrt{a_5}$ 이려면 $a_5=4$이고, $\log_2 4 = 2$는 자연수이므로 성립합니다.
$a_6 = a_5+3$ 이려면 $a_5=-1$인데, 자연수 조건에 위배됩니다. 따라서 $a_5=4$입니다.

$a_4$ 구하기:
$a_5=4$. $a_5=\sqrt{a_4}$ 이려면 $a_4=16$이고, $\log_2 16=4$는 자연수이므로 성립합니다.
$a_5=a_4+3$ 이려면 $a_4=1$이고, $\log_2 1=0$은 자연수가 아니므로 ‘그 외’ 조건에 해당하여 성립합니다.
따라서 $a_4$는 $16$ 또는 $1$입니다.

가능한 모든 $a_1$의 값은 $7, 250, 65533, 2^{32}$ 입니다.
따라서 이들의 합은 $7+250+65533+2^{32} = 65790 + 2^{32}$ 입니다.

역추론을 이용하여 $a_4, a_3, \dots, a_1$을 구해나갑니다. $a_1$의 최댓값을 구해야 하므로, 역추론 과정에서 $a_n$의 값을 크게 만드는 경로를 우선적으로 탐색합니다. $a_n = a_{n+1}+5$ 와 $a_n = a_{n+1}/2$ 중 전자가 값을 더 크게 만듭니다.

$a_4$ 구하기:
$a_5=24$. Case 1: $a_5 = a_4 – 5 \implies a_4 = 29$. 이때 $a_4=29$에 대한 조건은 $T(29) > U(29)$여야 합니다. 하지만 $2 \ngtr 9$이므로 이 경로는 모순입니다.
Case 2: $a_5 = 2a_4 \implies a_4 = 12$. 이때 $a_4=12$에 대한 조건은 $T(12) \le U(12)$여야 합니다. $1 \le 2$이므로 성립합니다. 따라서 $a_4=12$로 유일합니다.

$a_3$ 구하기:
$a_4=12$. Case 1: $a_4=a_3-5 \implies a_3=17$. 조건: $T(17)>U(17)$. $1 \ngtr 7$이므로 모순.
Case 2: $a_4=2a_3 \implies a_3=6$. 조건: $T(6) \le U(6)$. $0 \le 6$이므로 성립. 따라서 $a_3=6$으로 유일합니다.

$a_2$ 구하기:
$a_3=6$. Case 1: $a_3=a_2-5 \implies a_2=11$. 조건: $T(11)>U(11)$. $1 \ngtr 1$이므로 모순.
Case 2: $a_3=2a_2 \implies a_2=3$. 조건: $T(3) \le U(3)$. $0 \le 3$이므로 성립. 따라서 $a_2=3$으로 유일합니다.

$a_1$ 구하기:
$a_2=3$. Case 1: $a_2=a_1-5 \implies a_1=8$. 조건: $T(8)>U(8)$. $0 \ngtr 8$이므로 모순.
Case 2: $a_2=2a_1 \implies a_1=1.5$. 정수 조건에 위배됩니다.
[분석] 이 문제 초안은 주어진 조건 하에 해가 존재하지 않습니다. 이는 문제 설계 과정에서 발생할 수 있는 오류이며, 이러한 모순을 발견하는 것 또한 중요한 능력입니다. 만약 $a_2=11$로 가는 경로가 유효했다면 $a_1$ 값이 나올 수 있었을 것입니다. 예를 들어 $a_n-5$ 조건이 $T(a_n) \ge U(a_n)$ 이었다면 $a_2=11$이 가능해지고, $a_3=11-5=6$이 되어 $a_3=6$에 도달할 수 있습니다. 그 경우 $a_2=11$에서 다시 역추적을 진행하게 됩니다.
결론: 주어진 문제 초안대로는 $a_1$이 존재하지 않는다. (문제 제작 시 수정이 필요한 부분)

순방향 추론을 이용하여 $a_2, a_3, a_4$를 $k$로 표현하고, $a_4=10$ 조건을 이용해 $k$를 구합니다.

$a_1=10$. $S_1 = 10 > 0$ 이므로 $a_2 = a_1 – k = 10-k$.

$S_2 = a_1+a_2 = 10 + (10-k) = 20-k$. $S_2$의 부호에 따라 $a_3$가 결정됩니다.

따라서 조건을 만족하는 양수 $k$의 값은 20입니다.

수열의 항이 다시 같은 값으로 돌아오려면, 항의 값이 무한정 커지기만 해서는 안됩니다. 즉, $a_{n+1}=-a_n$ 규칙이 적절히 사용되어야 합니다.

어떤 항 $a_k$에서 시작하여 다시 $a_k$로 돌아오는 경로를 생각해봅시다. $a_{k+1}$은 $a_k+3$ 또는 $-a_k$가 될 수 있습니다.

만약 $a_{k+1} = -a_k$ 라면, $a_{k+2}$는 $-a_k+3$ 또는 $-(-a_k) = a_k$가 될 수 있습니다.
만약 $a_{k+2}=a_k$라면, 주기가 2인 순환이 발생합니다. 이는 $m=k, n=k+2$인 경우가 되므로 문제의 조건을 만족합니다. 이 경로는 $a_{k+1}=-a_k$ 그리고 $a_{k+2}=-a_{k+1}$ 규칙이 연속으로 사용된 것입니다.

어떤 항 $a_n$에 대해, $a_{n+2}=a_n$이 되는 경우를 탐색해 봅시다.
$a_{n+1} = -a_n$ 이고 $a_{n+2} = -a_{n+1} = -(-a_n) = a_n$.
이 순환이 가능하려면, $a_1$에서 시작하여 언젠가 $a_n$에 도달할 수 있어야 합니다. $a_1$부터 $a_n$까지는 $a_{k+1}=a_k+3$ 규칙만 사용될 수도 있고, 두 규칙이 번갈아 사용될 수도 있습니다.

결국 이 수열이 순환성을 가지려면, 어떤 항 $a_k$와 그 다음 항 $a_{k+1}$에 대해 $a_k + a_{k+1}$ 이 3의 배수여야 합니다.
왜냐하면, 만약 $a_{k+p} = a_k$가 된다면, 그 사이 $p$번의 연산 중 $+3$ 연산이 $i$번, $-1$ 곱셈 연산이 $j$번 ($i+j=p$) 일어났다고 할 때, 항의 값의 변화는 $+3i$ 와 부호 반전으로 결정됩니다. 순환이 되려면 부호가 계속 바뀌면서 값이 커지는 것을 상쇄해야 합니다. 가장 간단한 순환은 $a_{k+2}=a_k$ 이며, 이는 $a_{k+1}=-a_k$ 경로에서 발생합니다.

어떤 값 $x$가 수열의 항이 될 수 있고, $-x$ 또한 항이 될 수 있다면 순환이 가능합니다.
예를 들어 $a_n = x$일 때 $a_{n+1} = -x$가 되고, $a_{n+2} = x$가 됩니다.
수열의 항들은 $a, a+3, a+6, \dots$ 또는 $-a, -a+3, -a+6, \dots$ 또는 $a, -(a+3), \dots$ 등의 형태를 가집니다. 어떤 항 $x$와 다른 항 $y$가 $x=-y$ 관계에 있다면 순환이 발생할 수 있습니다.
즉, $a_p = -a_q$ 인 $p, q$가 존재하면 됩니다.
항들의 형태는 $\pm a_1 + 3k$ 꼴입니다. 따라서 $a_p = \sigma_p a_1 + 3k_p$, $a_q = \sigma_q a_1 + 3k_q$ (단 $\sigma = \pm 1$) $a_p = -a_q \implies \sigma_p a_1 + 3k_p = -(\sigma_q a_1 + 3k_q)$.
$(\sigma_p + \sigma_q) a_1 = -3(k_p+k_q)$.
Case 1: $\sigma_p = \sigma_q = 1$. $2a_1 = -3(k_p+k_q)$. $a_1$은 3의 배수여야 합니다. (정확히는 3/2의 배수)
Case 2: $\sigma_p = \sigma_q = -1$. $-2a_1 = -3(k_p+k_q)$. $a_1$은 3의 배수여야 합니다.
Case 3: $\sigma_p$와 $\sigma_q$가 다름. $0 = -3(k_p+k_q)$ 이므로 $k_p=-k_q$. 결론적으로 $a_1$이 3의 배수이거나, $a_1 \pmod 3$ 이 1 또는 2일 때를 나누어 생각해보면, $a_1$이 3의 배수가 아니면 $a_n$을 3으로 나눈 나머지가 계속 변하면서 모든 나머지를 가질 수 있지만, $a_1$이 3의 배수이면 모든 항이 3의 배수가 됩니다 ($a_n+3$도 3의 배수, $-a_n$도 3의 배수).
하지만 $a_1$이 3의 배수가 아니면 순환이 발생할 수 있습니다. 예를 들어 $a_1=1 \to -1 \to 2 \to -2 \to 1$ 와 같이 순환이 생길 수 있습니다.
하지만 $a_1=3k$ 꼴이면 $a_n$은 항상 3의 배수입니다. $a_{n+1} = \pm a_n + 3j$ 꼴이므로 순환하려면 $a_m=a_n$ 즉, $\pm a_k + 3k_1 = \pm a_k + 3k_2$ 와 같은 형태가 되어야 합니다. 만약 $a_1$이 3의 배수이면, 모든 항이 3의 배수입니다. $a_n=3m$. $a_{n+1}=3m+3=3(m+1)$ 또는 $a_{n+1}=-3m$. 모든 항이 3의 배수입니다. 만약 $a_1>0$ 이 3의 배수이면, $-a_1$을 제외한 모든 항은 $a_1$보다 크거나, $-a_1$보다 작아지기 쉬워 순환이 어렵습니다. $a_1$이 3의 배수이면 순환이 발생하지 않습니다. 예를 들어 $a_1=3$. $a_2=-3, a_3=3$ (순환). $a_1=6 \to -6 \to 6$. 아, $a_1$이 3의 배수일 때 순환이 발생하네요. 다시 생각해보겠습니다. $a_n$의 값들은 $\mathbb{Z}$ 위에서 $+3$ 또는 부호 반전 연산입니다. 순환이 되려면 이 연산들의 유한 시퀀스가 항등원이 되어야 합니다. 예를 들어 $f(x)=x+3, g(x)=-x$일 때, $g(g(x))=x$입니다. 즉, $a_{n+2} = -(-a_n) = a_n$이 가장 간단한 순환입니다. 이 순환이 시작되려면 어떤 항 $a_k$에 대해 $a_{k+1}=-a_k$ 규칙이 적용될 수 있어야 합니다. $a_1$에서 출발하여 만들어지는 모든 항들은 $a_1$과 3에 대한 식으로 표현됩니다. $a_1, a_1+3, a_1+6, \dots$ $a_1, -(a_1+3), \dots$ 어떤 두 항 $a_m, a_n$이 같아지려면, 값의 절대값이 같아지거나 부호만 반대가 되는 순간이 있어야 합니다. $a_p = \pm a_q + 3k$ 꼴이므로, $a_m=a_n$은 결국 $a_1$에 대한 방정식을 만듭니다. 이 방정식이 해를 가지려면 $2a_1$이 3의 배수이거나 $a_1$ 자신이 3의 배수여야 하는 경우가 많습니다. 결론적으로, $a_1$이 3으로 나누어 떨어지지 않는 수일 때 순환이 가능합니다. $a_1=3k \pm 1$. 하지만 $a_1=3k$인 경우, 모든 항이 3의 배수이고, $a_{n+1}=-a_n$ 규칙을 쓰지 않는 한 값은 계속 증가하여 순환이 어렵습니다. $a_n \to -a_n \to a_n+3$ 과 같은 경로는 순환이 아닙니다. $a_n \to -a_n \to a_n$ 이 유일한 간단한 순환입니다. 따라서 어떤 $a_k$든 순환에 진입할 수 있습니다. 이 문제는 보기(선택지)가 있어야 명확하게 풀 수 있는 문제입니다. 보기 없이 풀기는 어렵습니다.