C단계 고난도 · 서술형 🔥 고난도
📘 0268번 — x²+2x−n 인수분해 조건 — 개수 구하기 (서술형)
🔥 C단계 고난도 문제입니다! 영상으로 흐름 파악 후 스스로 재현해 보는 연습이 가장 효과적이에요. 💪
📋 이 포스팅에 포함된 것들
- 문제 분석 & 핵심 단서 찾기
- 단계별 친절한 풀이 설명
- 풀이 영상 (유튜브)
- 해설 이미지
- 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
- 흔한 실수 경고
- 내신·수능 목표 풀이 시간
- 관련 개념 & 연산 워크시트 링크
🎬 풀이 영상
고난도일수록 영상 먼저 → 아래 풀이와 함께 복습하면 효과 2배! 💪
🔍 문제 분석 & 핵심 단서
[문제 요약]
n이 1000 이하의 자연수일 때, f(x)=x²+2x−n이 (x+α)(x−β) (α, β는 자연수)로 인수분해되는 f(x)의 개수를 구하는 서술형 문제
n이 1000 이하의 자연수일 때, f(x)=x²+2x−n이 (x+α)(x−β) (α, β는 자연수)로 인수분해되는 f(x)의 개수를 구하는 서술형 문제
🔑 이 문제의 핵심 단서는 바로 이것!
(x+α)(x−β) 전개: x²+(α−β)x−αβ = x²+2x−n. 따라서 α−β=2, αβ=n. α=β+2 대입하면 n=β(β+2)!
✏️ 단계별 풀이 설명
1
계수 비교로 조건 추출
(x+α)(x−β) 전개:
= x²+(α−β)x−αβ
= x²+2x−n과 비교:
→ α−β=2, αβ=n
(x+α)(x−β) 전개:
= x²+(α−β)x−αβ
= x²+2x−n과 비교:
→ α−β=2, αβ=n
2
α=β+2 대입
α=β+2를 αβ=n에 대입:
n = β(β+2) = β²+2β
→ α, β가 자연수이므로 β≥1
α=β+2를 αβ=n에 대입:
n = β(β+2) = β²+2β
→ α, β가 자연수이므로 β≥1
3
β의 최댓값 탐색
n≤1000 조건:
β(β+2)≤1000
β=30: 30×32=960≤1000 ✓
β=31: 31×33=1023>1000 ✗
→ β는 1, 2, 3, …, 30
n≤1000 조건:
β(β+2)≤1000
β=30: 30×32=960≤1000 ✓
β=31: 31×33=1023>1000 ✗
→ β는 1, 2, 3, …, 30
4
개수 결산
β=1,2,…,30 → 각 β마다 n값 하나씩
→ f(x)의 개수 = 30
β=1,2,…,30 → 각 β마다 n값 하나씩
→ f(x)의 개수 = 30
정답: 30
💡 외워두면 좋은 꿀팁 패턴
🌟 이 유형의 황금 패턴
인수분해 조건 → 계수 비교 → 자연수 방정식 → 범위 탐색. n=β(β+2) 꼴에서 β의 최댓값을 찾으면 개수 결정!
⚠️ 이것만 조심하세요!
α−β=2, αβ=n 조건을 세우는 과정을 놓치거나, β의 최댓값 계산에서 경계값 실수
⏱️ 목표 풀이 시간
처음엔 시간 제한 없이 완전 이해가 우선! 반복으로 시간을 줄여가세요.
🏫 내신 시험
4~5분
풀이 흐름 암기 필수
📝 수능 시험
3분
패턴화 후 도전
⚡ 시간 줄이는 법: 고난도는 ‘핵심 변환 아이디어’가 먼저! 인수분해 형태나 보조식 설정 아이디어를 빠르게 떠올리는 연습이 시간을 단축시킵니다.
🖼️ 해설 이미지
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