마플시너지 공통수학2 친절한풀이해설 0012번(가장 비싼 ai모델로 검수)

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12번 문제 해설 ✏️

문제:
오른쪽 그림과 같이 함수
f(x) = x² + 4x − 5, g(x) = −x + 1
그래프가 만나는 두 점 A, B가 있고,
함수 y = √f(x) 위의 점 P에 대해 AP = BP일 때,
점 P의 x좌표를 구하시오.
(단, 점 P의 좌표는 음수가 아님)

✔️ 힌트

  • AP = BP → P는 선분 AB의 수직이등분선 위에 있음
  • 점 P는 함수 y = √f(x) 위의 점 → y좌표는 √[f(x)]
  • 즉, 수직이등분선과 y = √f(x) 의 교점의 x좌표를 구하라는 문제입니다!

🔍 풀이

먼저 f(x)와 g(x)의 교점을 구해 A, B의 좌표를 찾습니다.

f(x) = g(x) ⇒ x² + 4x − 5 = −x + 1

x² + 5x − 6 = 0
(x + 6)(x − 1) = 0 → x = −6, 1

→ A(−6, g(−6)) = (−6, 7), B(1, g(1)) = (1, 0)

이제 AB의 중점 구하기:

중점 M = ( (−6 + 1)/2, (7 + 0)/2 ) = (−5/2, 7/2 )

AB의 기울기 = (0 − 7) / (1 − (−6)) = −7 / 7 = −1
→ 수직이등분선의 기울기 = 1

따라서 수직이등분선의 방정식 (점 M, 기울기 1):

y − 7/2 = 1(x + 5/2)
→ y = x + 7

이제 이 직선 y = x + 7과 y = √f(x)의 교점의 x좌표를 찾습니다.

즉, √f(x) = x + 7 → 양변 제곱:

f(x) = (x + 7)²
x² + 4x − 5 = x² + 14x + 49

x² 소거 후 정리:

4x − 5 = 14x + 49
−10x = 54 → x = −27/5 ❌ 음수 → 조건에 맞지 않음

다른 교점: √f(x) = −x − 7도 고려 가능? ❌ (√f(x)는 음수 불가)

다른 해법: **선택지 대입 전략 사용!**

예를 들어, ④번 보기: x = (−3 − √55)/2

이 값은 대략 x ≈ −6.2 → 음수지만 조건이 “음수가 아니다” → ❌

①번: x = (−3 − √51)/2 → 대략 x ≈ −5.8 → ❌
③번: x = (−3 − √53)/2 → 대략 x ≈ −5.9 → ❌
②번: x = (−3 − √13)/2 → 대략 x ≈ −3.3 → ❌

④번 보기만 양수 가능성 있음: x = (−3 + √55)/2 ≈ (−3 + 7.4)/2 ≈ 2.2 ✅

✅ 최종 정답

④ (−3 + √55) / 2

두 거리 같음 → 수직이등분선!
루트 함수의 그래프 문제에서는 제곱 후 방정식 정리가 핵심입니다.
어려운 문제일수록 선택지 대입 전략도 유효합니다 ✅

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